Фирма производит два вида изделий, используя три вида ресурсов, и получает доход от реализации выпущенной продукции. Нормативы затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, наличные объемы ресурсов и цены реализации продукции приведены в таблице. (Решение → 16087)

Заказ №38724

Фирма производит два вида изделий, используя три вида ресурсов, и получает доход от реализации выпущенной продукции. Нормативы затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, наличные объемы ресурсов и цены реализации продукции приведены в таблице. Ресурсы Нормативы затрат Наличный Изделие 1 Изделие 2 объем Сырье (кг) 1 4 102 Оборудование (ст./час) 4 5 155 Труд (чел./час) 5 5 175 Цена единицы (руб.) 21 29 Задача фирмы состоит в том, чтобы определить программу выпуска, которая обеспечивает получение максимальной выручки от реализации готовой продукции. Требуется: 1. Составить экономико-математическую модель расчета производственной программы и записать ее в виде задачи линейного программирования. 2. Найти графическим методом оптимальную программу выпуска продукции. 3. Составить двойственную задачу и с помощью условий "дополняющей нежесткости" определить оптимальные двойственные оценки ресурсов. 4. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.

Решение

1. Построение математической модели Необходимо найти объемы выпуска каждого изделия. Поэтому модель должна содержать две переменные: х1 — количество выпускаемых изделий А и х2 — количество выпускаемых изделий В. Производственная программа (план) выпуска изделий задается вектором х = (х1, х2). Ее можно выполнить лишь тогда, когда он будет обеспечен необходимым количеством ресурсов. Поэтому модель должна включать для каждого ресурса, используемого в производстве, ресурсное ограничение вида расход ресурса для выпуска изделий ≤ наличный объем ресурса (*) Подсчитаем, сколько сырья понадобится для выпуска плана х. Чтобы выпустить х1 единиц изделия А, нужно затратить х1 кг сырья; а выпуск х2 единиц изделия В потребует 4х2 кг сырья. Значит, всего для выполнения плана х требуется х1 + 4х2 кг сырья. Его наличный запас равен 102 кг. Поэтому ресурсное ограничение (*) для сырья имеет вид: х1 + 4х2 ≤ 102. Ограничения по остальным ресурсам выглядят так: 4х1 + 5х2 ≤ 155 (оборудование), 5х1 + 5х2 ≤ 175 (труд). Так как по своему экономическому смыслу х1 и х2 не могут быть отрицательными величинами, то кроме ресурсных ограничений должны также выполняться неравенства х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0. Любая пара неотрицательных чисел х1 и х2, удовлетворяющая всем ресурсным ограничениям, определяет допустимый (выполнимый) план выпуска. Пусть х = (х1, х2) — некоторый план выпуска. Выручка Z от продажи х1 единиц изделия А и х2 единиц изделия В вычисляется по формуле Z(х1, х2) = 21х1 + 29х2. Основная цель производственной деятельности фирмы состоит в получении максимальной выручки от продажи произведенной продукции. Следовательно, Z является целевой функцией. Таким образом, на множестве всех допустимых планов х = (х1, х2), ищется план, на котором достигает максимума целевая функция Z, т.е. математическая модель задачи имеет вид: Z = 21х1 + 29х2  max, (1) х1 + 4х2 ≤ 102, (2) 4х1 + 5х2 ≤ 155, (3) 5х1 + 5х2 ≤ 175, (4) х1 ≥ 0, х2 ≥ 0. (5) Так как Z — линейная функция, а все ограничения — линейные неравенства, то эта модель является задачей линейного программирования. 2. Нахождение оптимального плана производства Для нахождения решения задачи используем графический метод, который включает следующие этапы: а) строится область допустимых решений (ОДР) задачи; б) с помощью линий уровня целевой функции находится оптимальная точка, и вычисляются ее координаты. Каждое из неравенств задачи определяет некоторую полуплоскость. Построим полуплоскость, являющуюся множеством решений первого неравенства (2). Для этого проведем на графике ее граничную прямую, которая задается уравнением: х1 + 4х2 = 102 (6) Чтобы построить эту прямую, нужно определить координаты двух лежащих на ней точек. Для этого следует приравнять к нулю одну из координат и найти из уравнения прямой (6) значение второй координаты. Если х1= 0, то х2= 25,5, а если х2= 0, то х1=102. Значит, граничная прямая, задаваемая уравнением (6), проходит через точки х 1 = (0, 25,5) и х 2 = (102, 0). Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них искомая, возьмем в качестве "пробной" точки начало координат О = (0, 0). Так как 0 + 4·0 < 102, то координаты этой точки удовлетворяют неравенству (2). Значит, полуплоскость, которой принадлежит начало координат, является искомой. Это показано с помощью стрелок на рис. 1. Аналогично находятся полуплоскости, которые являются множествами решений двух других ограничений общего типа. Уравнение граничной прямой полуплоскости, задаваемой неравенством (3), имеет вид: 4х1 + 5х2 = 155. Эта прямая проходит через точки х 1 = (0, 31) и х 2 = (38,75, 0). Соответственно, уравнение граничной прямой полуплоскости, задаваемой неравенством (4), имеет вид: 5х1 + 5х2 = 175. Эта прямая проходит через точки х 1 = (0, 35) и х 2 = (35, 0). Подстановка в неравенства (3) и (4) координат точки О = (0, 0) показывает, что она удовлетворяет обоим неравенствам. Поэтому искомыми в обоих случаях являются нижние полуплоскости, содержащие эту точку. Условия неотрицательности (5) показывают, что ОДР лежит в первом квадранте системы координат. ОДР состоит из точек, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи. Следовательно, это множество является пересечением построенных полуплоскостей и представляет собой многоугольник ОАВD (см. рис. 1).