Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих два вида кухонных шкафов обычные и дорогие. Обычный шкаф покрывается белой краской, а дорогой лаком. (Решение → 39003)

Заказ №38667

Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих два вида кухонных шкафов обычные и дорогие. Обычный шкаф покрывается белой краской, а дорогой лаком. Покраска и покрытие лаком производится на одном производственном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собрать не более 200 обычных шкафов и 150 дорогих. Лакирование одного дорогого шкафа требует в 2 раза больше времени, чем покраска одного простого шкафа. Если покрасочный участок занят только лакированием дорогих шкафов, то за день здесь можно подготовить 180 таких шкафов. Фабрика оценивает доход от обычных и дорогих кухонных шкафов $100 и $140 соответственно.

Решение

Пусть х1 – количество обычных шкафов, а х2 - количество дорогих шкафов, собираемых сборочной линией фабрики ежедневно. По условию задачи, х1≤200, а х2≤150. Если покрасочный участок будет занят только лакированных шкафов (х1=0), то их количество х2 будет равняться 180. Это можно отобразить уравнением: х2=-kх1+180, где k – некий коэффициент, который мы находим из дальнейшего условия – лакирование одного дорогого шкафа требует в 2 раза больше времени, чем покраска одного простого. То есть х2≡(1/2) х1. Знак минус перед коэффициентом k означает обратную зависимость между х1 и х2. Итак, полученное уравнение имеет вид: х2=-(1/2)х1+180. Исходя из данных условия, что цена простого шкафа равна $100, а дорогого – $140, составим уравнение дохода фабрики: Z(х)=100x1+140x2 Определим графически максимальное значение целевой функции Z=90x1+140x2 при следующих условиях–ограничениях: 39 x1≤200 x2≤150 x1+2x2≤350 Решим данную задачу с помощью надстройки «Поиск решения». Исходные данные Параметры поиска решения: Найденное решение: 40 Оптимальный план можно записать так: x1 = 200, x2 = 75 F(X) = 100∙200 + 140∙75 = 30500 Анализ оптимального плана. В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 75. Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно. Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно. Значение 70 $D$5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y1=70. Значение 30 $D$6 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y2=30. Значение 0 $D$7 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна y3=0. Построим двойственную задачу: Расширенная матрица A. 1 2 350 1 0 200 0 1 150 100 140 Транспонированная матрица AT . 1 1 0 100 2 0 1 140 41 350 200 150 Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной. Неравенства, соединенные стрелочками (↔), называются сопряженными. y1+y2≥100 2y1+y3≥140 350y1+200y2+150y3 → min y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0