Среди перечисленных матричных игр укажите те, которые имеет точку равновесия (седловую точку). Для таких матриц укажите оптимальные стратегии. (Решение → 19172)

Заказ №39105

Задание 2. Задачи по теории игр 1. Среди перечисленных матричных игр укажите те, которые имеет точку равновесия (седловую точку). Для таких матриц укажите оптимальные стратегии. Для матриц не имеющих седловой точки составьте пару двойственных задач для решения игры в смешанных стратегиях. Решите эти задачи с помощью программы Excel. 2. Для этих же матриц (не имеющих седловой точки), рассматриваемых как игры с природой, при помощи критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при λ=0,2 определить какое решение следует принять. а)              0 2 3 2 1 3 4 1 3 ;

Решение:

 - нижняя цена игры (максимальное значение из минимальных значений по строкам) Находим минимальное значение в каждой строке min{4;1;-3}=-3 min{-2;1;3}=-2 min{0;2;-3}=-3 Выбираем из них максимальное: =max{-3;-2;-3}=-2 Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией – это стратегия 2 игрока 1  - верхняя цена игры (минимальное значение из максимальных по столбцам) ij 1 j m 1 i n min maxa     Выбираем максимальное значение по столбцам: max{4;-2;0}=4 max{1;1;2}=2 max{-3;3;-3}=3 Выбираем из них минимальное =min{4;2;3}=2 Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией. Это стратегия 2 игрока №2  – игра не имеет седловой точки и не разрешима в чистых стратегиях Пусть первый игрок применяется стратегии А1,А2,А3 в пропорции р = (р1,р2,р3). Оптимальная смешанная стратегия первого игрока обеспечивает средний выигрыш не меньше v, значит 4р1-2р2+0р3v р1 +р2+2р3 v -3р1+3р2 -3р3v p1+p2 +p3=1 Разделим все неравенства и равенства на v: v 1 v р + v р + v р 1 v 3р v 3р + v 3р 1 v 2р + v р v р 1 v 0р v 2р - v 4р 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3         Введем обозначения: х1=р1/v, х2=р2/v, x3=p3/v, x4=p4/v Тогда с учетом того, что предприятие должно сделать свой выигрыш максимально возможным (а следовательно величина 1/v должна быть минимальной), получим задачу:                        x ,x ,x 0 - 3x 3x 3x 1 x x 2x 1 4x 2x 0x 1 F x x x min 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Аналогично для второго игрока получим задачу: F=у1+у2+у3max При ограничениях 4у1+у2-3у31 -2у1-у2+3у31 0у1+2у2-3у31 уj0 Решим задачу средствами табличного редактора Excel для игрока 1. Оформим расчетную таблицу, как показано на рисунке 1: