Струна*) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего ей импульс I в точке X0. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. (Решение → 38895)

Заказ №38691

Струна*) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего ей импульс I в точке X0. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник.

Решение

Колебания однородной закреплённой на обоих концах струны, находящейся в начальный момент в состоянии покоя, является решением задачи где функция определяет начальное распределение скоростей точек струны. Если струна возбуждается ударом острого молоточка, то эту функцию можно считать принимающей некоторое постоянное значение в пределах участка струны малой ширины вблизи точки удара и равной нулю вне этого участка, т.е. При этом суммарный начальный импульс точек струны должен быть равен Это означает, что должно выполняться условие Из него находим значение константы : Тогда решение исходной задачи будет получаться из решения такой вспомогательной задачи предельным переходом при Разделяя переменные в поставленной задаче, получаем: и координатная часть должна быть решением задачи Штурма-Лиувилля Общее решение дифференциального уравнения может быть записано в виде Из условия на левом конце следует, что 38 и, с точностью до постоянного множителя, Тогда из условия на правом конце получается спектральное уравнение ненулевые корни которого задают собственные числа задачи. Им соответствуют координатные собственные функции Каждому собственному значению соответствует задача Коши для временной части: Уравнение переписывается в виде и решение такой задачи, с точностью до коэффициента пропорциональности, - В соответствии с методом Фурье, решение задачи, удовлетворяющее обоим начальным условиям, можно искать в виде обобщённого ряда Фурье по найденным выше собственным функциям: Предполагая законность почленного дифференцирования, получаем: Тогда из второго начального условия следует равенство: Полученное равенство является, по существу, разложением заданной функции в тригонометрический ряд Фурье по синусам на отрезке Коэффициенты такого разложения могут быть найдены по известным формулам Эйлера-Даламбера: