1.43 Тяжелая горизонтальная струна (-l<x<l) с закрепленными концами находится в равновесии под действием постоянной
1.43 Тяжелая горизонтальная струна (-l<x<l) с закрепленными концами находится в равновесии под действием постоянной силы F0eu, eu=eg, приложенной в точке x=0, и силы тяжести; в момент t=0 действие силы прекращается.
Струна – это бесконечно тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть u(x,t) – поперечное отклонение струны в точке x (см. рис.). Будем рассматривать только малые плоские колебания струны, т.е. считаем, что величины tg α=ux малы, и в дальнейшем будем пренебрегать величинами порядка O(ux2) и выше.
Длина какого-либо участка струны (x1, x2) в деформированном состоянии равна
S=x1x21+ux2dx≈x2-x1=const.
Таким образом, при сделанных выше допущениях длина струны не меняется. Следовательно, по известному из механики закону Гука модуль натяжения струны T0=T=const. Натяжение T(x,t) в точке x в момент t направлено по касательной к струне (т.к. нет сопротивления изгибу).
Рассмотрим малый элемент струны [x, x+∆x] при t>0 (т.е. когда сосредоточенная сила перестала действовать). Спроектируем все силы на направление u. Запишем уравнение движения Ньютона для этого элемента
. Для силы натяжения имеем
T0sinαx+∆x-sinαx=T0tgα1+tg2αx+∆x-tgα1+tg2αx≈
≈T0tgαx+∆x-tgαx≈T0uxx+∆x-ux(x)
Если ρ(x) — линейная плотность материала струны, тогда масса элемента будет ∆m=ρ∆x.
На струну действует внешняя сила тяжести с массовой плотностью g, на элемент [x, x+∆x] будет действовать сила
gρ∆x.
Произведения массы на ускорение будет ρ∆xutt. Итак имеем следующее уравнение Ньютона для элемента струны
ρuttx,t∆x=T0uxx+∆x-ux(x)+gρ∆x.
(1)
Разделив обе части уравнения на ρ∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим дифференциальное уравнение
uttx,t=T0ρlim∆x→0uxx+∆x-ux(x)∆x+g,
utt=T0ρuxx+g.
(2)
Введем обозначение a2=T0/ρ, тогда волновое уравнение, описывающее колебание струны, примет вид
utt=a2uxx+g, -l<x<l.
(3)
Края струны закреплены, т.е. смещение этих точек равны нулю. Получаем следующее граничные условия
u-l,t=0, ul,t=0
- 14-летний Агафон Пирогов, при получении паспорта, просил работников органа загса об изменении имени, мотивируя
- 14-летний Алексей Синицын поступил на работу в общество с ограниченной ответственностью. Через несколько месяцев
- 14-летний Костиков на автобусной остановке подошел к ранее незнакомой Захаровой и попросил у нее
- 14-летний Рыбкин имеет в собственности земельный участок, однако земельный налог ни разу не уплачивал.
- 14 летний Фролов был принят в Театр юных зрителей в качестве распространителя рекламной продукции
- 14-летняя Зоя Лыкова неоднократно присматривала за соседскими детьми, за что получала денежное вознаграждение. Накопив
- 14 летняя школьница Леонтьева поздно вечером ждала на пустынной платформе электричку. Неожиданно на нее
- 13 ноября в 16 часов неизвестный преступник сорвал меховую шапку с головы гражданина Селиванова
- 13 января 2019 г. Новикова родила близнецов и решила избавиться от них. Ночью она
- 13 января ООО «Вега» открыло в КБ депозитный счет на сумму 20 000 руб. и
- 140 000 м3/ч сернистого газа, содержащего 7,5% SO2, проходит через контактный аппарат. Найдите суточную
- 14.02.2014 в дневное время в отдел таможенного оформления и таможенного контроля Ивановым И.И. (специалистом
- 142,30 г технического сульфида железа(II) обработали избытком соляной кислоты. Выделившийся газ растворили в 126,6
- 1, 4.2, сделать прогноз на последующие 2 года вперёд с использованием: а) среднего абсолютного