∂2u∂t2=D∂2u∂x2+ccos(dx), 0<x<l, t>0, (1) ux,0=ax2+bx+c , ∂u∂tt=0=ax2+bx+c . (2) u0,t=0, ul,t=0. (3) Замечание. Переобозначим по сравнению с исходным условием

∂2u∂t2=D∂2u∂x2+ccos(dx), 0<x<l, t>0, (1) ux,0=ax2+bx+c , ∂u∂tt=0=ax2+bx+c . (2) u0,t=0, ul,t=0. (3) Замечание. Переобозначим по сравнению с исходным условием d через d, а то d − крайне неудобное обозначение, путается дифференциал dx и просто множитель перед x.

Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных.
Найдем сначала собственные функции для однородного волнового уравнения
vtt=Dvxx
(4)
Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
Xx∙T''(t)=DX''(x)∙T(t)
Разделим равенство на DXx∙T(t)
T''(t)DT(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''(t)+DλTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя vx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λnl=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πnl2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnxl, n=1,2,…
Решение ux,t неоднородной задачи (1) − (3) будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Tntsinπnxl.
Подставим функцию ux,t в неоднородное уравнение (1)
n=1∞Tn''tsinπnxl=-Dn=1∞πnl2Tntsinπnxl+ccos(dx),
и в начальные условия (2)
ux,0=n=1∞Tn0sinπnxl=ax2+bx+c,
∂u∂tt=0=n=1∞Tn'0sinπnxl=ax2+bx+c.
Разложим неоднородности в уравнении и начальных условиях в ряд Фурье по собственным функциям задачи sinπnxln=1∞ на интервале (0;l)
ccos(dx)=n=1∞fnsinπnxl,
ax2+bx+c=n=1∞gnsinπnxl,
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам
fn=2l0lccosdxsinπnxldx=2cl0lcosdx-lπndcosπnx=
=-2cπncosdxcosπnxl0l+d0lsindxcosπnxldx=
=-2cπncosdx-1n-1+dlπn0lsindxdsinπnxl=
=-2cπncosdx-1n-1-dlπnsindxsinπnxl0l=0-d0lcosdxsinπnxldx=
=2cπn1-cosdx-1n+d2l2π2n2∙2cl01cosdxsinπnxldxfn=
=2cπn1-cosdx-1n+d2l2π2n2fn,
Следовательно,
fn=2c1-cosdx-1nπn1-d2l2π2n2=2cπn1-cosdx-1nπ2n2-d2l2.
gn=2l0l(ax2+bx+c)sinπnxldx=2l0l(ax2+bx+c)-1πndcosπnxl=
=-2πnax2+bx+ccosπnxl0l-012ax+bcosπnxldx=
=-2πnc-1n-(al2+bl+c)-lπn0l(2ax+b)dsinπnxl=
=-2πnc-1n-(al2+bl+c)-lπn2ax+bsinπnxl0l=0-2a0lsinπnxldx=
=-2πnc-1n-al2+bl+c-2al2π2n2cosπnxl0l=
=-2πnc-1n-(al2+bl+c)-2al2π2n2(-1n-1)=
=2π3n3π2n2al2+bl+c-c-1n+2al2(-1n-1).
Подставляем эти разложения в уравнение и начальные условия, получим
n=1∞Tn''tsinπnxl+n=1∞Dπnl2Tntsinπnxl=n=1∞fnsinπnxl,
n=1∞Tn0sinπnxl=n=1∞gnsinπnxl.
n=1∞Tn'0sinπnxl=n=1∞gnsinπnxl
Учитывая полноту системы собственных функций sinπnxln=1∞ на отрезке 0;l и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях sinπnxl, получим следующие задачи Коши для функций Tnt
Tn''t+Dπnl2Tnt=fnTn0=gn, Tn'0=gn
Общее решение уравнение имеет вид
Tnt=Tnоднt+Tnчастt=AncosDπntl+BnsinDπntl+Tnчастt.
Частое решение неоднородного уравнения Tnчастt ищем исходя из вида неоднородности, т.е