2x3+3x2+18x+1=0 Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения. Локализировать корень таблично. С точностью до

2x3+3x2+18x+1=0 Доказать существование и единственность действительного корня нелинейного уравнения. Локализировать корень таблично. С точностью до δ=0,01 приближенно вычислить корень методом половинного деления и с точностью δ=0,001 методом хорд.

Рассмотрим функцию fx=2x3+3x2+18x+1. Вычислим её производную: f'x=6x2+6x+18=6x2+x+3;
Так как дискриминант квадратного трехчлена x2+x+3 отрицательный, то f'(x) положительна для любого действительного x, следовательно, f(x) монотонно возрастает и любое своё возможное значение принимает один раз. Вычислим значение f(x) в нескольких целочисленных точках
x
-1 0 1
f(x)
-16 1 65
На отрезке -1;0 непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков f-1*f0=-16<0, следовательно, она обращается в нуль в точке x*∈-1;0 и этот нуль единственный в силу монотонности.
Вычислим приближенное значение для x* двумя методами.
а) метод половинного деления
Обозначим исходный отрезок локализации ∆0=a0;b0.
Далее строим последовательность отрезков ∆n=an;bn, n=1;2;… по следующему правилу. За нулевое приближение корня x* берем середину отрезка ∆0. Обозначим нулевое приближение ∆0, x0=a0+b02. Если f(x0)=0, то процесс поиска корня завершен. Если f(x0) ≠0, то за ∆1=[a1; b1] берем ту половину отрезка ∆0, на концах которой функция принимает значения разных знаков (т.е. fa1*fb1<0).
К отрезку ∆1 применяем тот же алгоритм и получаем ∆2.
Таким образом, если ∆n=an;bn, xn=an+bn2, xn∈∆n,
то ∆n+1=an+1;bn+1=an;xn, если fan*fxn<0xn;bn, если fan*fxn>0
Процесс выбора отрезков заканчивается или в случае fxn=0 и тогда x*=xn, или при условии ∆n=bn-an<δ.
Так как в методе половинного деления ∆n=12n, то 12n<δ.
Если δ=0,01, то n=7, т.к

. 127=1128<0,01.
Дано уравнение 2x3+3x2+18x+1=0, x*∈-1;0.
∆0=-1;0; x0=-1+02=-12=-0,500;
fx0=f-0,5=2*-0,53+3*-0,52+18*-0,5+1=-7,5>0
f-1=-16<0; fx0=f-0,5<0; f-1*f-0,5>0;
∆1=-0,5;0; x1=-0,5+02=-0,25;
fx1=f-0,25=2*-0,253+3*-0,252+18*-0,25+1=
=-3,344<0
f-0,5=-7,5<0; fx1=f-0,25<0; f-0,5*f-0,25>0;
∆2=-0,25;0; x2=-0,25+02=-0,125;
fx2=f-0,125=2*-0,1253+3*-0,1252+18*-0,125+1==-1,207<0
f-0,25=-1<0; fx2=f-0,125<0; f-0,25*f-0,125>0;
∆3=-0,125;0; x3=-0,125+02=-0,0625;
fx3=f-0,0625=2*-0,06253+3*-0,06252+18*-0,0625+
+1=-0,114<0
fx2=f-0,125<0;fx3=f-0,0625<0; f-0,125*f-0,0625>0;
∆4=-0,0625;0; x4=-0,0625+02=-0,0313;
fx4=f-0,0313=2*-0,03133+3*-0,03132+18*-0,0313+
+1=0,4404>0
fx3=f-0,0625<0; fx4=f-0,0313>0;
f-0,0625*f-0,0313<0;
∆5=-0,0625;-0,0313; x5=-0,0625-0,03132=-0,0469;
fx5=f-0,0469=2*-0,04693+3*-0,04692+18*-0,0469+
+1=0,1626>0
fx3=f-0,0625<0; fx5=f-0,0469>0;
f-0,0625*f-0,0469<0;
∆6=-0,0625;-0,0469; x6=-0,0625-0,04692=-0,0547;
fx6=f-0,0547=2*-0,05473+3*-0,05472+18*-0,0547+
+1=0,0243>0
fx3=f-0,0625<0; fx6=f-0,0547>0;
f-0,0625*f-0,0547<0;
∆7=-0,0625;-0,0547; ∆7=-0,0547+0,0625=0,0078<0,01
За x7 ,берем середину ∆7, x7=-0,0625-0,05472=-0,0586≈-0,06
Ответ: x*≈-0,06.
Б) Метод хорд.
В методе хорд последовательность {xn} приближенных значений для x* определяется как последовательность точек пересечения с осью OX хорд, проведенных через точки (an; f(an)); (bn; f(bn)) такие, что f(an)*f(bn)<0, n=1,2…
За исходный отрезок берем отрезок локализации корня, ∆0=[a0,b0]