6.133(2) Торец полубесконечного стержня (0<x) с теплоизолированной боковой поверхностью поддерживается при нулевой температуре. Определить

6.133(2) Торец полубесконечного стержня (0<x) с теплоизолированной боковой поверхностью поддерживается при нулевой температуре. Определить температуру стержня при t>0, если при t=0 она равна: u0exp-αx2, где α>0.

Для распределения температуры в стержне u(x,t) имеем следующую начально-краевую постановку на полупрямой (x>0)
ut=a2uxx, x>0, t>0,
(1)
где a2=k/ρ; k − коэффициент теплопроводности; ρ − плотность.
Граничное условие нулевой температуры на конце стержня
u0,t=0,
(2)
начальное условие
ux,0=φx=u0e-αx2.
(3)
Применим метод функций Грина. Решение представляется в виде
ux,t=0+∞φξGx,ξ,tdξ,
где функция Грина Gx,ξ,t первого рода (т.е. удовлетворяющая граничному условию (2)) одномерного оператора теплопроводности на полуоси x>0 с граничным условием (2) имеет вид
Gx,ξ,t=12aπte-x-ξ24a2t-e-x+ξ24a2t.
Таким образом, решение искомой задачи записывается в виде
ux,t=12aπt0+∞u0e-αξ2e-x-ξ24a2t-e-x+ξ24a2tdξ=
=u02aπt0+∞e-αξ2-x-ξ24a2tdξI1-u02aπt0+∞e-αξ2-x+ξ24a2tdξI2.
Вычислим входящие в это выражение интегралы.
В показателе экспоненты -αξ2-x-ξ24a2t выделим полный квадрат
-αξ2-x-ξ24a2t=14a2t-4αa2tξ2-x2-2xξ+ξ2=
=-14a2t1+4αa2tξ2-2xξ+x2=-1+4αa2t4a2tξ2-2x1+4αa2tξ+x21+4αa2t=
=-1+4αa2t4a2tξ2-2ξx1+4αa2t+x1+4αa2t2-x1+4αa2t2+x21+4αa2t=
=-1+4αa2t4a2t ξ-x1+4αa2t2+-x2+x21+4αa2t1+4αa2t2=
=-1+4αa2t4a2t ξ-x1+4αa2t2+4αa2x2t1+4αa2t2=
=-1+4αa2t4a2t ξ-x1+4αa2t2-αx21+4αa2t=
Сделаем в интеграле I1 замену
z=1+4αa2t4a2t ξ-x1+4αa2t, dξ=4a2t1+4αa2t dz.
Тогда
I1=u02aπt0+∞e-αξ2-x-ξ24a2tdξ=u02aπt-x2at1+4αa2t+∞e-z2-αx21+4αa2t4a2t1+4αa2t dz=
=u0π1+4αa2te- αx21+4αa2t-x2at1+4αa2t+∞e-z2dz.
Аналогично находим интеграл I2 (он может быть получен из I1 заменой x→-x)
I2=u0π1+4αa2te- αx21+4αa2tx2at1+4αa2t+∞e-z2dz.
Тогда решение задачи (1) − (2) примет вид
ux,t=I1-I2=
=u0e- αx21+4αa2tπ1+4αa2t-x2at1+4αa2t+∞e-z2dz-u0e- αx21+4αa2tπ1+4αa2tx2at1+4αa2t+∞e-z2dz=
=u0e- αx21+4αa2tπ1+4αa2t-x2at1+4αa2tx2at1+4αa2te-z2dz=2u0e- αx21+4αa2tπ1+4αa2t0x2at1+4αa2te-z2dz=
=u0e- αx21+4αa2t1+4αa2terfx2at1+4αa2t,
где использована функция ошибок (интеграл вероятности)
erfx=2π0xe-s2ds.
Ответ:
ux,t=u0e- αx21+4αa2t1+4αa2terfx2at1+4αa2t.