6 8 567 559 555 563 574 562 560 565 558 570 582 565 559 558 563 559 576 554 573

6 8 567 559 555 563 574 562 560 565 558 570 582 565 559 558 563 559 576 554 573 562 577 557 552 550 556 557 569 577 562 568 545 566 571 561 552 559 553 549 565 541 572 556 565 538 552 560 549 560 542 538 549 547 547 576 537 554 572 545 560 546 Провести статистическую обработку массива данных в столбцах 5, 6, 8 из общей таблицы. Ранжировать данные по величине и найти размах выборки. Преобразовать точечный вариационный ряд в интервальный с числом интервалов 8. Построить полигон и гистограмму. Найти выборочные моду и медиану. Найти выборочное среднее, дисперсию и СКО. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсон на уровне значимости α=0,2. Найти доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности с надежностью γ=0,9.

Объем выборки: n=60
ПРОИЗВЕДЕМ РАСЧЕТ ВЫБОРКИ Х.
Ранжированный вариационный ряд распределения. Размах выборки.
Для начала построим ранжированный вариационный ряд, т.е. поставим все числа в порядке возрастания.
537 538 538 541 542 545 545 546 547 547
549 549 549 550 552 552 552 553 554 554
555 556 556 557 557 558 558 559 559 559
559 560 560 560 560 561 562 562 562 563
563 565 565 565 565 566 567 568 569 570
571 572 572 573 574 576 576 577 577 582
Определим размах выборки:
R=xmax-xmin
гдеxmax – максимальное значение выборки;
xmin – минимальное значение выборки;
В нашем случае xmax = 582; xmin = 537.
R=582-537=45
Интервальный ряд выборки
Определим длину интервала по формуле Стерджесса:
h=R1+3,332ln⁡(n)
гдеR – размах выборки;
n – объем выборки.
1+3,332ln⁡(n) – количество интервалов.
По условию задачи число интервалов задано и равно 8.
Получим:
h=458=5,625≈6
Теперь мы можем выделить 8 групп с равными интервалами:
I группа: с 537 до 543;
II группа: с 543 до 549;
III группа: с 549 до 555;
IV группа: с 555 до 561;
V группа: с 561 до 567;
VI группа: с 567 до 573;
VII группа: с 573 до 579;
VIII группа: с 579 до 585.
Составим интервальный ряд распределения.
Интервал Частота
537;543)
5
543;549)
5
549;555)
10
555;561)
15
561;567)
11
567;573)
7
573;579)
6
579;585)
1
Полигон частот и гистограмма относительных частот.
Чтобы построить полигон частот необходимо знать значения середины интервалов.
xi=xi+xi+12
Расчеты представим в виде таблицы.
Таблица 2 – Данные для построения полигона частот.
Интервал Среднее значение (xi) Частота
(ni) Накопленная частота, S
537;543)
540 5 5
543;549)
546 5 10
549;555)
552 10 20
555;561)
558 15 35
561;567)
564 11 46
567;573)
570 7 53
573;579)
576 6 59
579;585)
582 1 60
СУММА 60
Полигон частот выборки будет выглядеть следующим образом (рис

. 1)
Рисунок 1. Полигон частот.
Чтобы построить гистограмму выборки необходимо знать высоту столбика, которая равна:
H=wih
гдеwi – относительная частота.
wi=nin
h=6, n=60
Расчеты представим в виде таблицы.
Таблица 3 – Данные для построения гистограммы выборки.
Интервал Частота
(ni) wi
H
537;543)
5 0,08 0,013
543;549)
5 0,08 0,013
549;555)
10 0,17 0,028
555;561)
15 0,25 0,042
561;567)
11 0,18 0,030
567;573)
7 0,12 0,020
573;579)
6 0,10 0,017
579;585)
1 0,02 0,003
Гистограмма выборки будет выглядеть следующим образом (рис. 2)
Рисунок 2. Гистограмма распределения относительных частот.
Выборочные мода и медиана.
Основные формулы:
Мода
Mo=XMo+hMo×nMo-fnMo-1nMo-nMo-1+nMo-nMo+1
гдеXMo – начальная (нижняя) граница модального интервала (интервал с самой большой частотой);
hMo – величина интервала;
nMo – частота модального интервала;
nMo-1 – частота интервала, предшествующая модальному;
nMo+1 – частота интервала, следующая за модальным.
Получим:
Mo=555+6×15-1015-10+15-11=558,3
Наиболее часто встречающееся значение ряда – 558,3.
Медиана
Me=XMe+hMe×12ni-SMe-1nMe
гдеXMe – нижняя граница медианного интервала;
hMe - величина интервала;
SMe-1 – накопленная частота до медианного интервала;
nMe – частота медианного интервала.
Получим:
Me=555+6×12×60-2015=559
Половина единиц совокупности будут меньше по величине 559.
Основные формулы.
Выборочное среднее.
X=xinini
Выборочная дисперсия
D=(xi-X)2 nini
Выборочное среднее квадратическое отклонение.
σ=D
Составим расчетную таблицу.
Интервал Среднее значение (xi) Частота
(ni) xini
(xi-X)2
(xi-X)2 ni
537;543)
540 5 2 700 368,64 1 843,2
543;549)
546 5 2 730 174,24 871,2
549;555)
552 10 5 520 51,84 518,4
555;561)
558 15 8 370 1,44 21,6
561;567)
564 11 6 204 23,04 253,44
567;573)
570 7 3 990 116,64 816,48
573;579)
576 6 3 456 282,24 1 693,44
579;585)
582 1 582 519,84 519,84
СУММА 60 33 552
6 537,60
X=3355260=559,2
D=6537,6060=108,96
σ=108,96=10,44
Проверка гипотезы о нормальном распределении.
Выдвинем гипотезу Н0: распределение генеральной совокупности Х подчинено нормальному закону распределения с параметрами X=559,2 и σ=10,44.
Проверим эту гипотезу с помощью критерия Пирсона при уровне значимости
α=0,2.
Вычислим теоретические частоты, используя следующие формулы:
ni0=nhσφUi, где
hφUiσ=Pi =>ni0=Pin
Ui=xi-Xσ
Составим расчетную таблицу.
Среднее значение (xi) Частота
(ni) Ui
φUi
Pi
ni0
540 5 -1,84 0,0734 0,04 2
546 5 -1,26 0,1804 0,11 7
552 10 -0,69 0,3144 0,18 11
558 15 -0,11 0,3965 0,23 14
564 11 0,46 0,3589 0,21 13
570 7 1,03 0,2347 0,14 8
576 6 1,61 0,1092 0,06 4
582 1 2,18 0,0371 0,03 1
СУММА: 1 60
Сравним эмпирические и теоретические частоты и найдем наблюдаемое значение критерия Пирсона по следующей формуле:
набл2=ni-ni02ni0
Расчеты представим в форме таблицы.
Частота
(ni) ni0
ni-ni02
ni-ni02ni0
5 2 9 4,50
5 7 4 0,57
10 11 1 0,09
15 14 1 0,07
11 13 4 0,31
7 8 1 0,13
6 4 4 1,00
1 1 0 0,00
СУММА: 6,67
набл2=6,67
По таблице критических точек распределения 2 по уровню значимости α=0,2 и числу степеней свободы k=i-r-1 (где r – параметры нормального распределения: X и σ) определим критическое значение критерия Пирсона.
k=8-2-1=5
кр20,2;5=7,289
Так как набл2<кр2, то нет основания отвергать основную гипотезу, т.е