Бесконечная струна с линейной плотностью равной 18 и натянутой с силой равной 72, находится

Бесконечная струна с линейной плотностью равной 18 и натянутой с силой равной 72, находится в прямолинейном положении. В момент t=0 участок струны 1,9 получил отклонение: точку x=4 отклонили на величину 4, а точку x=8 на величину 2. Изобразить графически профиль струны в моменты времени t=i4 (i=0,1,…,8). Схематично изобразить процесс дальнейшего распространения волны. Указать его скорость.

Поперечные колебания струны описываются одномерным волновым уравнением
ρutt=Tuxx,
где ρ − линейная плотность струны, T − сила натяжения струны.
Уравнение можно переписать в виде
utt=a2uxx,
где a=T/ρ − скорость распространения волн в струне (скорость звука).
По условию задачи ρ=18, T=72, следовательно, скорость волн будет
a=Tρ=7218=2.
Имеем следующую задачу Коши для волнового уравнения
utt=4uxx, -∞<x<+∞, t>0,
ut=0=φx=0 при x∈(-∞;1],43(x-1) при x∈1;4,-12x+6 при x∈4;8,-2x+18 при x∈8;90 при x∈9;+∞ . utt=0=ψx=0.
Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения на прямой -∞<x<+∞,
ux,t=12φx+2t+φx-2t+12x-2tx+2tψsds.
В нашем случае, ψx=0, поэтому решение будет
ux,t=12φx+2t+φx-2t.
Графики формы струны в моменты времени t=i4 (i=0,1,…,8) представлены на рис.1

. utt=0=ψx=0.
Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения на прямой -∞<x<+∞,
ux,t=12φx+2t+φx-2t+12x-2tx+2tψsds.
В нашем случае, ψx=0, поэтому решение будет
ux,t=12φx+2t+φx-2t.
Графики формы струны в моменты времени t=i4 (i=0,1,…,8) представлены на рис.1