Бесконечный цилиндр из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε внесли в поле с напряженностью E0.

Бесконечный цилиндр из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε внесли в поле с напряженностью E0. Вектор напряженности направлен по оси x, ось цилиндра направлена вдоль оси z. Найти плотность поверхностного заряда на цилиндре.

Пусть радиус цилиндра через r0. В полярных координатах в каждом сечении перпендикулярном цилиндру для потенциала электростатического поля u1r,φ внутри цилиндра и u2r,φ вне цилиндра имеем следующую краевую задачу:
Внутри цилиндра
Δu1r,φ≡∂2u1∂r2+1r∂u1∂r+1r2∂2u1∂φ2=0, r≤r0.
(1)
Вне цилиндра
Δu2(r,φ)≡∂2u2∂r2+1r∂u2∂r+1r2∂2u2∂φ2=0, r≥r0.
(2)
С условием на бесконечности (однородное поле)
u2r,φ=-E0rcosφ, при r→∞.
(3)
Поскольку на поверхности цилиндра нет свободных зарядов, то при r=r0 должны выполняться условия согласования, непрерывность потенциала и нормальной компоненты вектора электрического смещения
u1r0,φ=u2r0,φ,
(4)
ε1E1nr=r0=ε2E2nr=r0
Диэлектрическая проницаемость цилиндра ε1=ε

. Если цилиндр находится в вакууме, то ε2=1. Нормальные составляющие вектора напряженности
E1n=-∂u1∂n=-∂u1∂r; E2n=-∂u2∂r.
Следовательно,
ε∂u1∂rr=r0=∂u2∂rr=r0
(5)
Исходя из вида условия (3) будем искать решение краевой задачи (1) − (5) в виде
u1r,φ=R1rcosφ, u2r,φ=R2rcosφ
(6)
Подставляем в уравнения (1), (2) и в условия (3) − (5)
R1''+1rR1'-1r2R1cosφ=0,
r2R1''+rR1'-R1=0, r≤r0
Аналогично находим
r2R2''+rR2'-R2=0, r>r0
R2r=-E0r, при r→∞.
R1r0=R2r0
εR1'r0=R2'r0
Таким образом переменные разделились