Чему равно приращение энтропии ΔH при переходе системы из состояния, характеризуемого среднеквадратичным отклонением σ1,

Чему равно приращение энтропии ΔH при переходе системы из состояния, характеризуемого среднеквадратичным отклонением σ1, в состояние, характеризуемое величиной σ2: нормального распределения координаты; в случае равномерного распределения координаты?

Энтропия непрерывной величины имеет вид:
H=--∞∞pxlog2pxdx=--∞∞pxlnpxln2dx=-1ln2∙-∞∞pxlnp(x)dx
а) Плотность нормального распределения имеет вид:
px=1σ2π∙e-x22σ2
Тогда:
-∞∞1σ2π∙e-x22σ2ln1σ2π∙e-x22σ2dx=-∞∞1σ2π∙e-x22σ2ln1σ2π+lne-x22σ2dx=-∞∞1σ2π∙e-x22σ2ln1σ2π-x22σ2dx=1σ2π∙ln1σ2π∙-∞∞e-x22σ2dx-12σ32π∙-∞∞x2e-x22σ2dx=1σ2π∙ln1σ2π∙12∙π12σ2-12σ32π∙12∙π12σ23=-12∙1-ln1σ2π=-12∙lne-ln1σ2π=-12∙lne∙σ2π
Получаем функцию энтропии:
H=-1ln2∙-12∙lne∙σ2π=12∙lne∙σ2πln2=12∙log2e∙σ2π
Тогда приращение энтропии составит:
ΔH=H2-H1=12∙log2e∙σ22π-12∙log2e∙σ12π=12∙log2e∙σ22π-log2e∙σ12π=12∙log2e∙σ22πe∙σ12π=12∙log2σ2σ1
б) Плотность равномерного распределения имеет вид:
px=1b-a,x∈a, b;0, x∉a,b .
Тогда:
H=-ab1b-alog21b-adx=-ab1b-a∙ln1b-aln2dx=-1ln2∙ab1b-a∙ln1b-adx=-1ln2∙1b-aln1b-a∙xab=-1ln2∙1b-aln1b-ab-a=-ln1b-aln2=log2b-a
Среднее квадратическое отклонение равномерного распределения равно:
σ=b-a23
Тогда:
H=log223σ
Тогда приращение энтропии составит:
ΔH=H2-H1=log223σ2-log223σ1=log223σ223σ1=log2σ2σ1