Дана задача ЛП: F(x1, x2, x3, x4) = 4·x1 + 12·x2 + 44·x3 + 11·x4  min, –5·x1 – 1·x2 + 3·x3 + 2·x4 ≥ 5, 2·x1 +

Дана задача ЛП: F(x1, x2, x3, x4) = 4·x1 + 12·x2 + 44·x3 + 11·x4  min, –5·x1 – 1·x2 + 3·x3 + 2·x4 ≥ 5, 2·x1 + 2·x2 + 4·x3 – 1·x4 ≥ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0. Её решение известно: Fmin = F(0, 0, 13/11, 8/11) = 60. Составьте для этой задачи двойственную задачу и найдите её решение, пользуясь теоремами двойственности.

Правила составления двойственной задачи таковы:
1). Прямая задача должна быть задана в стандартной форме; при этом, если целевая функция прямой задачи минимизируется, то все знаки неравенств должны быть “≥”.
2). Каждому из двух неравенств в системе ограничений прямой задачи соответствуют переменные y1 и y2 двойственной задачи.
3). Каждой из переменных x1, x2, x3, x4 прямой задачи соответствует неравенство в системе ограничений двойственной задачи.
4). Коэффициенты при какой-либо конкретной переменной в неравенствах системы ограничений прямой задачи становятся коэффициентами при переменных в неравенствах системы ограничений двойственной задачи. Иными словами говоря, матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг относительно друга

.
5). Коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся свободными членами неравенств системы ограничений двойственной задачи.
6). Свободные члены неравенств системы ограничений прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи.
7). Если целевая функция прямой задачи стремится к минимуму, то целевая функция двойственной стремится к максимуму.
8). В двойственной задаче знаки между левой и правой частями ограничений меняются на противоположные. Таким образом, все ограничения двойственной задачи в нашем случае представляют собой неравенства, знаки которых имеют вид “≤”.
9). Условия неотрицательности переменных прямой задачи сохраняются и для двойственной задачи.
Составив двойственную задачу в соответствии со сформулированными правилами, получаем:
Z(y1, y2) = 5·y1 + 4·y2  max,
–5·y1 + 2·y2 ≤ 4,
–1·y1 + 2·y2 ≤ 12,
3·y1 + 4·y2 ≤ 44,
2·y1 – 1·y2 ≤ 11,
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
Находим оптимальное решение двойственной задачи по второй теореме двойственности