Диагонали выпуклого четырехугольника A BCD пересекаются в точке О под прямым углом так, что

Диагонали выпуклого четырехугольника A BCD пересекаются в точке О под прямым углом так, что А0=8 см, ВО = СО= 1 см, D0 =7 см. Стороны АВ и CD при продолжении пересекаются в точке М. Найти угол AMD. Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник; O=AC∩BD; M=AB∩DC; AC⊥BD; AO=8; BO=CO=1; DO=7. Найти: ∠AMD.

1) В прямоугольном треугольнике AOD: ∠OAD+∠ODA=π2. 2) Из прямоугольных треугольников ABO и DCO: tg∠BAO=tgα=BOAO=18; tg∠CDO=tgβ=CODO=17. 3) Так четырехугольник ABCD выпуклый, то все отмеченные углы лежат внутри треугольника AMD, следовательно: ∠AMD=π-∠A+∠D=π-∠OAD+∠BAO+∠ODA+∠CDO=π-π2+α+β= =π2-α+β. Отсюда: tg∠AMD=tgπ2-α+β=ctgα+β=1-tgα∙tgβtgα+tgβ= =1-18∙1718+17=56-17+8=5515=113. ∠AMD=arctg113. Ответ: arctg113.