Для изображенной на рис.4 логической схемы системы определить вероятность безотказной работы системы PC(t), частоту

Для изображенной на рис.4 логической схемы системы определить вероятность безотказной работы системы PC(t), частоту отказов системы f C(t) при t =3 года и среднее время до отказа ТС. Выполняется экспоненциальный закон. Все элементы равнонадежны с параметром λ =10-3 год-1. Рисунок 4– Расчетная схема системы

Вероятность безотказной работы рассматриваемой системы рассчитывается по формуле для дублированных систем при одинаковой надежности основной и резервной цепей :
Pc(t) =1 - (1-e-λ0t)m+1 , (1)
где λ0 – интенсивность отказов основной цепи, 1/год;
m – количество резервных цепей, m=1
Частота отказов fc (t) определяется по формуле, где используется производная от функции Рc(t):
fc(t) = -Pc'(t) , (2)
Преобразуем формулу (1):
Pc(t) =1 - (1-e-λ0t)1+1 =1 - (1-2e-λ0t +e-2λ0t) =
=1-1+2e-λ0t -e-2λ0t =2e-λ0t -e-2λ0t , (3)
Подставив полученное выражение (3) в формулу (2), получим:
fc(t) = -Pc'(t) =2λ0e-λ0t-2λ0e-2λ0t = 2λ0e-λ0t(1-2λ0e-λ0t), (4)
Средняя наработка рассчитывается по формуле:
Tсрс = 1λ0 i=0m1i+1 , (5)
Интенсивность отказов основной цепи λ0 рассчитывается по формуле для последовательного соединения :
λ0 =i=1nλi , (6)
где λi - интенсивность отказов i–го элемента цепи,1/год
Так как элементы равнонадежны, то
λ0 =i=1n=3λi =n·λi=3·10-3 1/год
Для заданного времени работы t = 3 года при рассчитанном значении интенсивности отказов основной цепи λ0 = 3·10-3 1/год по формулам (1),(4) и (5) получим следующие значения:
Pc(3) =1 - (1-e-3·10-3·3)1+1=1-(1-0,991)2 =0,99992
fc(3) =2λ0e-λ0t(1-2λ0e-λ0t) = 2·3·10-3· e-3·10-3·3×
×(1-2·3·10-3· e-3·10-3·3) =6·10-3·0,991·(1-6·10-3·0,991)=
=5,946·10-3(1-5,946·10-3)= 5,91·10-3 1/год
Tсрс = 1λ0 i=0m=11i+1 =13·10-3(10+1 +11+1)= 500 лет
Ответ: Pc(3) =0,99992; fc(3) =5,91·10-3 1/год; Tсрс =500 лет