Для схемы составить уравнения, применяя метод непосредственного использования законов Кирхгофа. Метод контурных токов. Найти токи. 4

Для схемы составить уравнения, применяя метод непосредственного использования законов Кирхгофа. Метод контурных токов. Найти токи во всех ветвях схемы, используя только один из методов. Проверить расчеты подстановкой найденных токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа. Составить уравнение баланса мощности и сделать его расчет. Рис.1. Расчетная схема Дано: Е1=50 В, Е2=45 В, Е3=20 В, R1=1 Ом, R2=7 Ом, R3=10 Ом, R4=5 Ом, R5=5 Ом.

В схеме у=4 узлов, 6 ветвей. В каждой из ветвей выбираем условно-положительные направления токов.
Составляем уравнения по 1-у и 2-му законам Кирхгофа.
по первому закону:
узел 1: I1-I2-I4=0
узел 2: -I1+I2+I3+I5=0
узел 3: -I3+I4-I5=0
по второму закону:
контур I: I2R2-I5R5-I4R4=E2
контур II: -I1R1-I2R2=-E1-E2
контур III: -I3R3+I5R5=-E3
Составляем уравнения по методу контурных токов.
Введём контурные токи Ik1, Ik2, Ik3 для контуров I, II и III соответственно.
Для контура I:
Ik1R2+R4+R5-Ik2R2-Ik3R5=E2
для контура II:
-Ik1R2+Ik2R1+R2=-E1-E2
для контура III:
-Ik1R5+Ik3R3+R5=-E3
После подстановки исходных данных получим систему уравнений:
Ik17+5+5-7Ik2-5Ik3=45-7Ik1+Ik21+7=-50-45-5Ik1+Ik310+5=-20
Упрощаем
17Ik1-7Ik2-5Ik3=45-7Ik1+8Ik2=-95-5Ik1+15Ik3=-20
Решаем методом определителей

. Главный определитель
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
Находим величину контурных токов:
Ik1=∆1∆=-53751105=-4,864 A
Ik2=∆2∆=-178251105=-16,131 A
Ik3=∆3∆=-32651105=-2,955 A
По найденным контурным токам находим токи ветвей, их величину и направление:
I1=-Ik2=16,131 A
I2=Ik1-Ik2=-4,864--16,131=11,267 A
I3=-Ik3=2,955 A
I4=-Ik1=4,864 A
I5=Ik3-Ik1=-2,955--4,864=1,909 A
Все токи получились с положительными значениями, значит, их направления совпадают с обозначенными направлениями на рис.1.
Проверим расчеты подстановкой найденных токов в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа.
Проверка для контура I:
I2R2-I5R5-I4R4=E2
11,267·7-1,909·5-4,864·5=45
45,004≈45
Равенство выполняется
Проверка для контура II:
-I1R1-I2R2=-E1-E2
-16,131·1-11,267·7=-50-45
-95,03≈-95
Равенство выполняется
Проверка для контура III:
-I3R3+I5R5=-E3
-2,955·10+1,909·5=-20
-20,005=-20
Равенство выполняется
Составим уравнение баланса мощности и сделаем его расчет.
Суммарная мощность источников
Pист=E1I1+E2I2+E3I3=50·16,131+45·11,267+20·2,955=1372,665 Вт
Суммарная мощность потребителей
Pпотр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5=16,1312·1+11,2672·7+2,9552·10+4,8642·5+1,9092·5=1372,660 Вт
Получили, что Pист=Pпотр, т.е 1372,665 Вт≈1372,660 Вт
С незначительной погрешностью (тысячные доли) от округлений промежуточных значений баланс выполняется.