Имеются 3n +1 предметов (n одинаковых, остальные различны). Доказать, что из них можно извлечь

Имеются 3n +1 предметов (n одинаковых, остальные различны). Доказать, что из них можно извлечь n предметов 22n способами.

В общем случае часть предметов мы можем извлечь из тех n, которые одинаковы, а остальную часть — из различных. Допустим, m предметов мы извлекли из группы одинаковых, а другие n-m — из различных (здесь 0≤m≤n).
Сколькими способами это можно было бы сделать? Столькими же, сколькими из 2n+1 можно выбрать n-m, то есть C2n+1n-m.
Остаётся суммировать такие слагаемые по m (для каждого m между 0 и n взять биномиальный коэффициент, и сложить их все).
При n = 2 берём сумму трёх таких чисел: одним способом можно выбрать 2 из двух неразличимых, C51 способами можно выбрать один из неразличимых, а другой из остальных, C52 способами можно выбрать два из различимых пяти.
C50 +C51 + C52 = 16 ( Наше выражение 22n=24=16)
При n =3;
(Все одинаковые; 2 одинаковые, третий другой; один из одинаковых, 2 различные; все 3 различные).
C70 + C71 + C72 + C73 = 1 + 7 + 21 + 35=64 ( Наше выражение 22n=26=64)
При n =4;
C90 + C91 + C92 + C93+C94 = 1+9+36 + 84 + 126 = 256 ( Наше выражение 22n=28=256)
Аналогично будет для других значений n