Использование дифференцирования по параметру. 0∞1x sinaxsinbx dx

Использование дифференцирования по параметру. 0∞1x sinaxsinbx dx

Выполним замену переменной интегрирования. t = x, dt=dx2x.
Интеграл примет вид
I=0∞1x sinaxsinbx dx=20∞sinat2sinbt2 dt.
Найдем производную от интеграла по параметру b.
Ib'=2 0∞sinax2x2cosbx2dx.
Далее запишем производные от интегралов по параметрам a и b.
Ia'=2 0∞1x2cosax2sinbx2dx,
Iba"=2 0∞cosax2cosbx2dx,
Ibbaш=-2 0∞cosax2x2sinbx2dx,
IbbaaIV=2 0∞sinax2sinbx2dx.
Определим начальные условия.
I(0,0) = 0, Ib’(0,0) = 0, Ia’(0,0) = 0.
Запишем известный интеграл
Iba"0,b=20∞cosbx2dx=π2b.
Запишем основное уравнение для данной задачи.
I - IbbaaIV = 0.
Этому уравнению удовлетворяют синусоиды и экспоненты