I.Является ли функция y=3x2+2 решением уравнения dydx=6x? II.Решите дифференциальные уравнения: а) x+3dy-y+2dx=0 б) 1+x2ydy-1+y2xdx=0 III.Найдите частные решения дифференциальных

I.Является ли функция y=3x2+2 решением уравнения dydx=6x? II.Решите дифференциальные уравнения: а) x+3dy-y+2dx=0 б) 1+x2ydy-1+y2xdx=0 III.Найдите частные решения дифференциальных уравнений: а) 1+x2dy-2xy+3dx=0 ,если y0=-1 при x0=0 б) 1+y2dx=xydy, если y0=1 при x0=2

I. Продифференцируем y=3x2+2:
y'=3x2+2'=6x.
Таким образом, функция y=3x2+2 является решением ДУ dydx=6x.
II.
а) x+3dy-y+2dx=0
x+3dy=y+2dx
dyy+2=dxx+3
dyy+2=dxx+3
dy+2y+2=dx+3x+3
lny+2=lnx+3+lnC
lny+2=lnCx+3
y+2=Cx+3C
y=Cx+3C-2
б) 1+x2ydy-1+y2xdx=0
1+x2ydy=1+y2xdx
ydy1+y2=xdx1+x2
ydy1+y2=xdx1+x2
2ydy1+y2=2xdx1+x2
d1+y21+y2=d1+x21+x2
ln1+y2=ln1+x2+lnC
ln1+y2=lnC1+x2
1+y2=C1+x2
y2=C1+x2-1
y=±C1+x2-1
III.
а) 1+x2dy-2xy+3dx=0 ,если y0=-1 при x0=0
1+x2dy=2xy+3dx
dyy+3=2xdx1+x2
dyy+3=2xdx1+x2
dy+3y+3=d1+x21+x2
lny+3=ln1+x2+lnC
lny+3=lnC1+x2
y+3=C1+x2
y=C1+x2-3
y=Cx2+C-3
При x0=0 получаем y0=C-3=-1, отсюда C=2 и
y=2x2-1
б) 1+y2dx=xydy, если y0=1 при x0=2
1+y2dx=xydy
ydy1+y2=dxx
122ydy1+y2=dxx
12d1+y21+y2=dxx
12ln1+y2=lnx+lnC
12ln1+y2=lnCx
ln1+y2=2lnCx
ln1+y2=lnC2x2
1+y2=C2x2
y2=C2x2-1
y=±C2x2-1
При x0=2 получаем y0=±4C2-1=1, отсюда C2=12 и y=±12x2-1