Ln(a+bx)= lna+n=1∞-1n-1banxnn , x<ab, a>0, b≠0;

Ln(a+bx)= lna+n=1∞-1n-1banxnn , x<ab, a>0, b≠0;

Рассмотрим разложение ln(1+x)=n=1∞-1n-1xnn сходящееся для x<1. Выполним замену переменной x на bxa для bxa<1 или x<ab, a≠0, b≠0 ln1+bxa=n=1∞-1n-1nbxan lna+bxa=n=1∞-1n-1nbanxn ln(a+bx)-lna=n=1∞-1n-1banxnn ln(a+bx)=lna+n=1∞-1n-1banxnn сходится при a>0, b≠0, x<ab. Что и требовалось доказать.