Ly=axy''+bxy'+cxy 1) Проверить, что y1x есть частное решение однородного уравнения Ly=0. Зная это, найти общее

Ly=axy''+bxy'+cxy 1) Проверить, что y1x есть частное решение однородного уравнения Ly=0. Зная это, найти общее решение уравнения Ly=0. 2) Найти общее решение неоднородного уравнения Ly=fx, предположив, что одно из частных решений уравнения является многочленом. № ax bx cx y1x fx 1 x2 -4x 6 x2 2x4

Имеем:
Ly=x2y''-4xy'+6y
1) Проверим, что y1x=x2 – частное решение уравнения
x2y''-4xy'+6y=0
Имеем:
y'=2x;y''=2
Подставляя в уравнение:
2x2-4x∙2x+6x2=0
Получаем тождество:
0≡0
Т.е. y1x=x2 – частное решение уравнения.
Найдем второе частное решение однородного уравнения из уравнения:
y2y1'=Wy12
Применяя формулу Лиувилля-Остроградского:
y2x2'=e4xx2dxx4=1
Откуда:
y2x2=x y2=x3
Т.к . функции y1x=x2,y2x=x3 – линейно независимые, то общее решение уравнения:
y=c1x2+c2x3
2) Найдем общее решение неоднородного уравнения:
x2y''-4xy'+6y=2x4
Исходя из вида правой части и дифференциального оператора, частное решение будем искать в виде:
y=Ax4
Тогда:
y'=4Ax3,y''=12Ax2
Подставляем в уравнение:
x2∙12Ax2-4x∙4Ax3+6Ax4=2x4
2Ax4=2x4 A=1
Т.е

. функции y1x=x2,y2x=x3 – линейно независимые, то общее решение уравнения:
y=c1x2+c2x3
2) Найдем общее решение неоднородного уравнения:
x2y''-4xy'+6y=2x4
Исходя из вида правой части и дифференциального оператора, частное решение будем искать в виде:
y=Ax4
Тогда:
y'=4Ax3,y''=12Ax2
Подставляем в уравнение:
x2∙12Ax2-4x∙4Ax3+6Ax4=2x4
2Ax4=2x4 A=1
Т.е