Методом Эйлера решить x=Ax, если матрица A задана в виде: A=1020220-10;и x0=1;0;0T

Методом Эйлера решить x=Ax, если матрица A задана в виде: A=1020220-10;и x0=1;0;0T

Находим собственные значения системы, для чего записываем матрицу:
A-Eλ=1-λ0202-λ20-1-λ
И решаем характеристическое уравнение:
A-Eλ=0
1-λ0202-λ20-1-λ=0
1-λ2-λ2-1-λ=0
1-λλ2-2λ+2
1-λ=0 λ1=1
λ2-2λ+2=0
λ2,3=2±-42
λ2,3=1±i
Для собственного значения λ1=1 находим собственный вектор . Записываем однородную систему уравнений:
A-EX=0
2x3=0x2-2x3=0-x2-x3=0
Положив x1=1, получим собственный вектор с целочисленными координатами:
x1=(1;0;0)
Возьмем собственное число λ3=1-i. Записываем однородную систему уравнений:
A-(1-i)EX=0
ix1+2x3=01+ix2-2x3=0-x2-1-ix3=0
Возьмем x3=1, тогда x1=2i,x2=i-1
Комплексное решение для λ3:
x=e1-it2ii-11=etcost-isint2ii-11=
=et2sintsint-costcost+iet2costcost-sint-sint
Действительная и мнимая части соответствуют разным частным решениям, поэтому общее решение исходной системы:
x=100c1et+2sintsint-costcostc2et+2costcost-sint-sintc3et
Подставляем начальные условия x0=1;0;0T:
1=c1+2c30=-c2+c30=c2 c1=1c2=0c3=0
Окончательно имеем:
x=100et

. Записываем однородную систему уравнений:
A-EX=0
2x3=0x2-2x3=0-x2-x3=0
Положив x1=1, получим собственный вектор с целочисленными координатами:
x1=(1;0;0)
Возьмем собственное число λ3=1-i. Записываем однородную систему уравнений:
A-(1-i)EX=0
ix1+2x3=01+ix2-2x3=0-x2-1-ix3=0
Возьмем x3=1, тогда x1=2i,x2=i-1
Комплексное решение для λ3:
x=e1-it2ii-11=etcost-isint2ii-11=
=et2sintsint-costcost+iet2costcost-sint-sint
Действительная и мнимая части соответствуют разным частным решениям, поэтому общее решение исходной системы:
x=100c1et+2sintsint-costcostc2et+2costcost-sint-sintc3et
Подставляем начальные условия x0=1;0;0T:
1=c1+2c30=-c2+c30=c2 c1=1c2=0c3=0
Окончательно имеем:
x=100et