Найти национальные доходы четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица

Найти национальные доходы четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна A, а сумма бюджетов стран не превышает b = 15055 млн. ден. ед. 0,05 0,35 0,44 0,15 A = 0,75 0,55 0,36 0,25 . 0,1 0,05 0,1 0,45 0,1 0,05 0,1 0,15

Рассмотрим бюджеты четырех стран, которые обозначим как x1, x2, x3, x4. Предположим, что национальный доход xj страны j затрачивается на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран.
Обозначим через xij количество средств страны j расходуемое на закупку товаров из страны i, при этом xjj – затраты на закупку товаров внутри страны j. Тогда сумма всех затрат страны j, идущее на закупку товаров как внутри страны, так и на импорт из других стран должна равняться национальному доходу страны xj, то есть x1j + x2j + x3j + x4j = xj, j = 1,2,3,4.
Разделив обе части равенства на xj и введя коэффициенты aij = xij / xj,  получим a1j + a2j + a3j + a4j = 1, j = 1,2,3,4. Коэффициенты aij равны доле национального дохода страны j, расходуемую на закупку товаров у страны i. Матрица A коэффициентов aij
a11 … a14
A = … … … .
a41 … a44
называется структурной матрицей торговли четырех стран. Сумма элементов каждого столбца матрицы равна единице.
С другой стороны, количество средств страны j, расходуемое на закупку товаров из страны i и равное xij, является выручкой для страны i за свой товар, который у нее закупила страна j. Суммарная выручка i-ой страны pi равна: pi = xi1 + xi2 + xi3 + xi4, i = 1,2,3,4.  
Так как aij = xij / xj, то xij = aij · xj и последнее равенство можно записать в виде pi = ai1 · x1 + ai2 · x2 + ai3 · x3 + ai4 · x4, i = 1,2,3,4.
Международная торговля называется сбалансированной, если сумма платежей (затрат) каждого государства равна его суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.
В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, другими словами, у каждой страны выручка от торговли должна быть равна ее национальному доходу, то есть pi = xi,  i = 1,2,3,4.
Последние равенства, с использованием выражений для pi, можно записать в матричном виде A · X = X, где A – структурная матрица международной торговли, X = ║ x1  x2  x3  x4 ║T – вектор национальных доходов стран.
С помощью построенной линейной модели международной торговли можно, зная структурную матрицу международной торговли A, найти такие величины национальных доходов четырех торгующих стран (вектор X), чтобы международная торговля была сбалансированной.
Уравнение A · X = X можно переписать в виде (A – E) · X = 0, где E – единичная матрица.
В соответствии с условием нашей задачи имеем:
0,05 0,35 0,44 0,15
A = 0,75 0,55 0,36 0,25 .
0,1 0,05 0,1 0,45
0,1 0,05 0,1 0,15
Элементы данной матрицы A удовлетворяют условиям структурной матрицы торговли, то есть сумма элементов любого её столбца равна 1.
Из уравнения (A – E) · X = 0 получаем:
0,05–1 0,35 0,44 0,15
x1
0
0,75 0,55–1 0,36 0,25 · x2 = 0
0,1 0,05 0,1–1 0,45
x3
0
0,1 0,05 0,1 0,15–1
x4
0
или
–0,95 0,35 0,44 0,15
x1
0
0,75 –0,45 0,36 0,25 · x2 = 0
0,1 0,05 –0,9 0,45
x3
0
0,1 0,05 0,1 –0,85
x4
0
Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
–0,95 0,35 0,44 0,15
0,1 0,05 0,1 –0,85
1 0,5 1 –8,5
(1) 0,75 –0,45 0,36 0,25 (2) 0,75 –0,45 0,36 0,25 (3) 7,5 –4,5 3,6 2,5 (4)
0,1 0,05 –0,9 0,45 0,1 0,05 –0,9 0,45 1 0,5 –9 4,5
0,1 0,05 0,1 –0,85
–0,95 0,35 0,44 0,15
–9,5 3,5 4,4 1,5
1 0,5 1 –8,5
1 0,5 1 –8,5
1 0,5 1 –8,5
(4) 0 –8,25 –3,9 66,25 (5) 0 –8,25 –3,9 66,25 (6) 0 –8,25 –3,9 66,25
0 0 –10 13 0 0 –10 13 0 0 –10 13
0 8,25 13,9 –79,25
0 0 10 –13
0 0 0 0
(1). Записываем матрицу системы.
(2)