Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности ∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b используя. 4

Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности ∂u∂t=k∂2u∂x2+fx,t, a<x<b, 0<t≤Tua,t=g1t, ub,t=g2t, 0<t≤T ux,0=φx, a≤x≤b используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0, 2τ, 4τ, …T ∂u∂t=0,1∂2u∂x2, 0<x<1, 0<t≤Tu0,t=5t, u1,t=5t, 0<t≤T ux,0=x(1-x), a≤x≤b

Введем сетку в области изменения независимых переменных:
wh={xi=ih, i=0,1,…,N}
h=0,1
определим из условия:
τ≤0,5(h2/k)
τ≤0,5*0,010,1=0,05
T=0,5
Таким образом, шаг по пространственной координате равен 0, 1, шаг по временной координате – 0,01. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются:
x=0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1.
Временная координата t принимает значения:
t=0; 0,05; 0,1;0,15;0,2;0,25;0,30;0,35;0,4;0,45; 0,5.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
u(xi,tj+τ)-u(xi,tj)τ=0,1u(xi-h,tj)-2u(xi,tj)+u(xi+h,tj)h2
В граничных точках:
u0;0=u1;0=0
u0;0,05=u1;0,05=0,25
u0;0,1=u1;0,1=0,5
u0;0,15=u1;0,15=0,75
u0;0,2=u1;0,2=1
u0;0,25=u1;0,25=1,25
u0;0,30=u1;0,30=1,5
u0;0,35=u1;0,35=1,75
u0;0,40=u1;0,40=2
u0;0,45=u1;0,45=2,25
u0;0,5=u1;0,5=2,5
u0,1;0=0,09
u0,2;0=0,16
u0,3;0=0,21
u0,4;0=0,24
u0,5;0=0,25
u0,6;0=0,24
u0,7;0=0,21
u0,8;0=0,16
u0,9;0=0,09
Первый слой:
u(0,1;0,05)-u(0,1;0)0,05=0,1u(0;0)-2u(0,1;0)+u(0,2;0)0,01
u(0,2;0,05)-u(0,2;0)0,05=0,1u(0,1;0)-2u(0,2;0)+u(0,3;0)0,01
u(0,3;0,05)-u(0,3;0)0,05=0,1u(0,2;0)-2u(0,3;0)+u(0,4;0)0,01
u(0,4;0,05)-u(0,4;0)0,05=0,1u(0,3;0)-2u(0,4;0)+u(0,5;0)0,01
u(0,5;0,0125)-u(0,5;0)0,05=0,1u(0,4;0)-2u(0,5;0)+u(0,6;0)0,01
u(0,6;0,05)-u(0,6;0)0,05=0,1u(0,5;0)-2u(0,6;0)+u(0,7;0)0,01
u(0,7;0,05)-u(0,7;0)0,05=0,1u(0,6;0)-2u(0,7;0)+u(0,8;0)0,01
u(0,8;0,05)-u(0,8;0)0,05=0,1u(0,7;0)-2u(0,8;0)+u(0,9;0)0,01
u(0,9;0,05)-u(0,9;0)0,05=0,1u(0,8;0)-2u(0,9;0)+u(1;0)0,01
Откуда находим значения для первого слоя:
u0,1;0,05-u0,1;0=0,5u0;0-u0,1;0+0,5u0,2;0
u0,2;0,05-u0,2;0=0,5u0,1;0-u0,2;0+0,5u0,3;0
u0,3;0,05-u0,3;0=0,5u0,2;0-u0,3;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,05-u0,4;0=0,5u0,3;0-u0,4;0+0,5u0,5;0
u0,5;0,05-u0,5;0=0,5u0,4;0-u0,5;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,05-u0,6;0=0,5u0,5;0-u0,6;0+0,5u0,7;0
u0,7;0,05-u0,7;0=0,5u0,6;0-u0,7;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,05-u0,8;0=0,5u0,7;0-u0,8;0+0,5u0,9;0
u0,9;0,05-u0,9;0=0,5u0,8;0-u0,9;0+0,5u1;0
u0,1;0,05=0,5u0;0+0,5u0,2;0
u0,2;0,05=0,5u0,1;0+0,5u0,3;0
u0,3;0,05=0,5u0,2;0+0,5u0,4;0
u0,4;0,05=0,5u0,3;0+0,5u0,5;0
u0,5;0,05=0,5u0,4;0+0,5u0,6;0
u0,6;0,05=0,5u0,5;0+0,5u0,7;0
u0,7;0,05=0,5u0,6;0+0,5u0,8;0
u0,8;0,05=0,5u0,7;0+0,5u0,9;0
u0,9;0,05=0,5u0,8;0+0,5u1;0
Найдены значения для первого слоя:
u(0,1;0,05)=0,08
u(0,2;0,05)=0,15
u(0,3;0,05)=0,2
u(0,4;0,05)=0,23
u0,5;0,05=0,24
u(0,6;0,05)=0,23
u(0,7;0,05)=0,2
u(0,8;0,05)=0,15
u(0,9;0,05)=0,08
Остальные расчеты в таблице:
t
x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
0 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
0,1 0,09 0,08 0,2 0,32 0,4725 0,625 0,79375 0,9625 1,141406 1,320313 1,506836
0,2 0,16 0,15 0,14 0,195 0,25 0,3375 0,425 0,532813 0,640625 0,763672 0,886719
0,3 0,21 0,2 0,19 0,18 0,2025 0,225 0,271875 0,31875 0,385938 0,453125 0,538086
0,4 0,24 0,23 0,22 0,21 0,2 0,20625 0,2125 0,239063 0,265625 0,3125 0,359375
0,5 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 0,2 0,20625 0,2125 0,239063 0,265625 0,3125
0,6 0,24 0,23 0,22 0,21 0,2 0,20625 0,2125 0,239063 0,265625 0,3125 0,359375
0,7 0,21 0,2 0,19 0,18 0,2025 0,225 0,271875 0,31875 0,385938 0,453125 0,538086
0,8 0,16 0,15 0,14 0,195 0,25 0,3375 0,425 0,532813 0,640625 0,763672 0,886719
0,9 0,09 0,08 0,2 0,32 0,4725 0,625 0,79375 0,9625 1,141406 1,320313 1,506836
1 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
Графики зависимости приближенного решения от x: