Найти решение задачи Коши методом Даламбера. Решение представить в аналитическом и графическом виде ∂2u∂x2=1ν2∂2u∂t2, -π2<x<π2,

Найти решение задачи Коши методом Даламбера. Решение представить в аналитическом и графическом виде ∂2u∂x2=1ν2∂2u∂t2, -π2<x<π2, t≥0, (1) ut=0=φx=cosx, ∂u∂tt=0=ψx=0. (2) Замечание Вообще задача Коши для волнового уравнения задается на всей прямой -∞<x<+∞ (нет границ по пространству). В условии ограничение по x, наверное, написано для того чтобы указать в каком диапазоне делать рисунки.

Воспользуемся формулой Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения
ux,t=12φx+νt+φx-νt+12ax-νtx+νtψsds.
В нашем случае (ψx=0) решение имеет вид
ux,t=12φx+νt+φx-νt=12cosx+νt+cosx-νt=cosxcosνt.
Решение периодическое по времени, с периодом 2π/ν. На рисунке представлена форма решения в моменты времени t=0, π4ν, π2ν, 3π4ν, πν, 5π4ν, 3π2ν, 7π4ν .
Ответ: ux,t=cosxcosνt.
Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так.
В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты
ξ=x+νtη=x-νt
В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид
wξη=0
Общее решение уравнения имеет вид
wξ,η=Fξ+Gη,
где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции.
Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид
ux,t=Fx+νt+Gx-νt,
∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt.
Функции F и G найдем из начальных условий (2)
ut=0=Fx+Gx=cosx,
∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0.
Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0
Дифференцируем первое уравнение
F'(x)+G'(x)=-sinx,
и складываем его со вторым, получим
2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C,
Gx=cosx-Fx=12cosx-C.
Таким образом,
ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.

.
Ответ: ux,t=cosxcosνt.
Замечание. Скорее всего в задаче предполагалось сразу использовать формулу Даламбера. Если же надо продемонстрировать метод характеристик, т.е. явно получить формулу Даламбера, то делается это так.
В дифференциальном уравнении (1) сделаем замену ux,t=wξ,η, где характеристические координаты
ξ=x+νtη=x-νt
В этих координатах гиперболическое уравнение (1) имеет второй канонический вид
wξη=0
Общее решение уравнения имеет вид
wξ,η=Fξ+Gη,
где Fξ, Gη – произвольные дифференцируемые функции.
Тогда решение исходного дифференциального уравнения в переменных x,t имеет вид
ux,t=Fx+νt+Gx-νt,
∂u∂tx,t=νF'x+νt-νG'x-νt.
Функции F и G найдем из начальных условий (2)
ut=0=Fx+Gx=cosx,
∂u∂tt=0=νF'x-νG'x=0.
Fx+Gx=cosxF'x-G'x=0
Дифференцируем первое уравнение
F'(x)+G'(x)=-sinx,
и складываем его со вторым, получим
2F'x=-sinx, ⟹ F'x=-12sinx, ⟹ Fx=12cosx+C,
Gx=cosx-Fx=12cosx-C.
Таким образом,
ux,t=12cosx+νt+C+12cosx-νt-C=cosxcosνt.