Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал α,β=1,10, если она распределена: а) равномерно

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал α,β=1,10, если она распределена: а) равномерно в интервале c,d=8,15; б) по нормальному закону и имеет математическое ожидание m=11,5 и дисперсию D=4; в) по показательному закону и имеет математическое ожидание w=11,5. Построить совместный график соответствующих плотностей распределения.

А) плотность равномерного на a,b распределения:
f(x)=1b-a, при x∈a,b,0, при x∉a,b.
f(x)=17, при x∈8,15,0, при x∉8,15.
Вероятность попадания в интервал, найдем по формуле:
Pα<X<β=αβfxdx
P1<X<10=180dx+81017dx=x7810=10-87=27.
б) плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х имеет вид:
fx=1σ2πe-x-m22σ2
где m- математическое ожидание, σ=D- среднее квадратическое отклонение Х.
По условию: m=11,5, D=4⟹σ=2.
fx=122πe-x-11,528
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение из интервала α, β:
Pα<X<β=Фβ-mσ-Фα-mσ
Фx=12π0xe-t22dt-интегральная функция Лапласа.
P1<X<10=Ф10-11,52-Ф1-11,52=Ф-0,75-Ф-5,25=Ф5,25-Ф0,75=
по таблице=0,5-0,2734=0,2266
в) плотность показательного распределения:
fx=λe-λx,x≥00,x<0
Математическое ожидание: MX=1λ.
По условию: MX=w=11,5⟹λ=111,5=10115.
fx=10115e-10115x,x≥00,x<0
Вероятность попадания в интервал, найдем по формуле:
P1<X<10=11010115e-10115xdx=-e-10115x110=e-10115-e-100115=0,4976.
Построим график соответствующих плотностей распределения:
50196751914525
00
Ответ:а) 27≈0,2857;б) 0,2266;в) 0,4976;рис.2.