Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте от вершины тело оторвется

Небольшое тело скользит с вершины сферы вниз. На какой высоте от вершины тело оторвется от поверхности сферы? Радиус сферы R. Трением пренебречь. Дано: R. Найти: h.

Рисунок 5
Когда тело оторвется от полусферы, то сила реакции опоры Nстанет равной нулю. Допустим это произойдет в момент, когда прямая, соединяющая тело и центр полусферы (смотри схему), составляет с вертикалью угол α . Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y, которая совпадает с упомянутой прямой.
-m·g⋅cosα+N=-m·aц
Учитывая, что центростремительное ускорение aц равно υ2/R, то:
m·g⋅cosα-N=m·υ2/R
Выше уже было сказано, что N=0, поэтому:
m·g⋅cosα-N=m·υ2/R
υ2=g·R⋅cosα
Так как трением можно пренебречь, то воспользуемся законом сохранения энергии:
m·g·R=mυ2/2+m·g·R⋅cosα
υ2=2·g·R(1—cosα)
Так как левые части в полученных равенствах равны, то приравняем их правые части:
g·R⋅cosα=2·g·R(1—cosα)
cosα=2/3
Искомую высоту h можно найти по формуле (рис

. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось y, которая совпадает с упомянутой прямой.
-m·g⋅cosα+N=-m·aц
Учитывая, что центростремительное ускорение aц равно υ2/R, то:
m·g⋅cosα-N=m·υ2/R
Выше уже было сказано, что N=0, поэтому:
m·g⋅cosα-N=m·υ2/R
υ2=g·R⋅cosα
Так как трением можно пренебречь, то воспользуемся законом сохранения энергии:
m·g·R=mυ2/2+m·g·R⋅cosα
υ2=2·g·R(1—cosα)
Так как левые части в полученных равенствах равны, то приравняем их правые части:
g·R⋅cosα=2·g·R(1—cosα)
cosα=2/3
Искомую высоту h можно найти по формуле (рис