Оптимальная организация производства продукции при ограничении запасов сырья. Максимизация прибыли R=7x1+3x2+2x3→max 2x1+2x2-x3≤8,x1+4x2-x3≤4,-x1+2x2-x3≤1,4x1-x2+x3≤8. Преобразовать систему неравенств к системе равенств. Задачу

Оптимальная организация производства продукции при ограничении запасов сырья. Максимизация прибыли R=7x1+3x2+2x3→max 2x1+2x2-x3≤8,x1+4x2-x3≤4,-x1+2x2-x3≤1,4x1-x2+x3≤8. Преобразовать систему неравенств к системе равенств. Задачу решить линейным программированием.

Преобразуем систему неравенств к системе равенств
2x1+2x2-x3+x4=8,x1+4x2-x3+x5=4,-x1+2x2-x3+x6=1,4x1-x2+x3+x7=8.⟹x4=8-2x1-2x2+x3,x5=4-x1-4x2+x3,x6=1+x1-2x2+x3,x7=8-4x1+x2-x3.
Итак, задача примет вид:
R=7x1+3x2+2x3→max (1)
x4=8-2x1-2x2+x3,x5=4-x1-4x2+x3,x6=1+x1-2x2+x3,x7=8-4x1+x2-x3. (2)
Из целевой функции (1) видим, что условие оптимальности не выполняется. Введем в базис переменную x1, так как коэффициент при ней положительный и наибольший. Полагая в системе (2) x2=x3=0 видим, что x1 можно увеличить до 4 в первом уравнении, до 4 во втором уравнении, до 2 в четвертом уравнении.
min82;41;-;84=2⟹
вводим в базис x1, выводим x7.
Выразим из последнего уравнения системы (2) переменную x1:
x1=2+14x2-14x3-14x7.
Подставляем выражение для x1 в уравнения системы:
x4=8-22+14x2-14x3-14x7-2x2+x3=4-52x2+32x3+12x7,x5=4-2+14x2-14x3-14x7-4x2+x3=2-174x2+54x3+14x7,x6=1+2+14x2-14x3-14x7-2x2+x3=3-74x2+34x3-14x7,x1=2+14x2-14x3-14x7.
Подставляем выражение для x1 в целевую функцию:
R=72+14x2-14x3-14x7+3x2+2x3=14+194x2+14x3-74x7.
Из целевой функции видим, что условие оптимальности не выполняется

. Введем в базис переменную x2, так как коэффициент при ней положительный и наибольший. Полагая в системе ограничений x3=x7=0 видим, что x2 можно увеличить до 8/5 в первом уравнении, до 8/17 во втором уравнении, до 12/7 в третьем уравнении.
min85;817;127;-=89⟹
вводим в базис x2, выводим x5.
Выразим из второго уравнения системы ограничений переменную x2:
x2=817+517x3-417x5+117x7.
Подставляем выражение для x2 в остальные уравнения системы:
x4=4-52817+517x3-417x5+117x7+32x3+12x7=4817+1317x3+1017x5+617x7,x2=817+517x3-417x5+117x7,x6=3-74817+517x3-417x5+117x7+34x3-14x7=3717+417x3+717x5-617x7,x1=2+14817+517x3-417x5+117x7-14x3-14x7=3617-317x3-117x5-417x7.
Подставляем выражение для x2 в целевую функцию:
R=14+194817+517x3-417x5+117x7+14x3-74x7=27617+2817x3-1917x5-2517x7.
Из целевой функции видим, что условие оптимальности не выполняется