Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD, ∠A1AB = ∠A1AD = 45°, ∠BAD = 60°.

Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD, ∠A1AB = ∠A1AD = 45°, ∠BAD = 60°. Найдите угол между плоскостями граней AA1D1D и AA1B1B.

1) Через произвольную точку H ребра AA1 проведем сечение EHF ⊥ AA1.
2) AH ⊥ (EHF) ⇒ {AH ⊥ EH; AH ⊥ FH} ⇒ ∠AHE = ∠AHF = 90°. Тогда EHF – линейный угол двугранного угла AA1.
3) △AEH = △AFH по стороне и прилежащим к ней углам: сторона AH – общая; ∠EAH = ∠FAH – по условию задачи; ∠AHE = ∠AHF = 90°.
4) △AEF – равносторонний, поскольку все углы в 60° ⇒ EF = AE = AF = x.
5) △AEH и △AАH равнобедренные, как прямоугольные треугольники с острым углом в 45° ⇒ AH = EH = FH = y.
6) В итоге: △EFH = △AEH = △AFH ⇒ ∠EHF – прямой.
7) Такой же результат получим, воспользовавшись теоремой косинусов для трехгранного угла A:
cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosC,
где α,β и γ – плоские углы, С – двугранный угол, составленный плоскостями углов α,β.
cosC=cosγ-cosαcosβsinαsinβ=cos60°-cos45°cos45°sin45°sin45°=12-22∙2222∙22=12-1212=0⇒C=90°.
Замечание