По деревянным сходням, образующим угол 300 с горизонтом, ящик втаскивают за привязанную к нему

По деревянным сходням, образующим угол 300 с горизонтом, ящик втаскивают за привязанную к нему верёвку. Коэффициент трения ящика о сходни 0,25. Под каким углом к горизонту следует тянуть верёвку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик? Дано: α= 300 μ= 0,25 Найти: β— ?

Минимальное значение силы F будем иметь место при движении ящика по наклонной плоскости с постоянной скоростью, то есть ускорение будет равно 0.
По условию задачи необходимо определить оптимальное значение угла β , который удобно представить в виде суммы:
β=α+ζ
и искать оптимальное значение угла.
Сила трения определится как:
Fμ=μmgcosα-Fsinζ
Второй закон Ньютона в проекции на направление перемещения ящика:
Fcosζ-mgsinα-μmgcos+μFsinζ=0
Fcosζ+μFsinζ=mgsinα+μmgcos
Выразим из последнего уравнения силу:
F=mgsinα+μcosαcosζ+μsinζ
Числитель уравнения от угла ζ не зависит поэтому минимальное значение силы будет наблюдаться при максимальном значении знаменателя.
Исследуем функцию:
fζ=cosζ+μsinζ
на экстремум то есть найдем производную функции и приравняем ее к нулю
f'ζ=-sinζ+μcosζ=0
μcosζ=sinζ
tgζ=μ
ζ=arctgμ
Оптимальное значение угла β при котором значение F минимально:
β=α+arctgμ
С учётом начальных данных:
β=30+arctg0,25=49,50
Ответ: 49.50