По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки

По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (X1), ставки по депозитам (X2) и размера внутрибанковских расходов (X3). Данные к задаче №2 Строка, соответствующая вашему номеру варианта, определяет значения для ряда Y, последующие три строки соответствуют X1, X2, X3. Вариант Наблюдения 4 (Y) 5 (X1) 6 (X2) 7 (X3) 60 68 80 76 44 96 100 104 106 98 50 54 60 62 70 54 84 82 86 84 22 30 20 32 44 34 52 56 66 68 176 170 156 172 162 160 166 156 152 138 Требуется: 1. Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. 2. Рассчитать параметры модели. 3. Для характеристики модели определить: линейный коэффициент множественной корреляции, коэффициент детерминации, средние коэффициенты эластичности, бета-, дельта- коэффициенты. Дать их интерпретацию. 4. Осуществить оценку надежности уравнения регрессии. 5. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. 6. Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя. 7. Отразить результаты расчетов на графике.

1.
Чтобы выполнить отбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели, рассчитаем парные коэффициенты корреляции. Используем пакет Анализа данных Excel, программа Корреляция
Таблица результатов корреляционного анализа (коэффициенты парных корреляций)
Зависимая переменная Y (Объем прибыли) имеет среднюю связь с факторами X1 (Среднегодовая ставка по кредитам), X2 (Ставка по депозитам) и X3 (Размер внутрибанковских расходов), так как коэффициенты корреляции 0,3≤rY,Xi<0,7.
Кроме того, наблюдается очень тесная связь между факторами X1 и X2 (коэффициент корреляции rX1,X2=0,925, что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из факторов X1 и X2 оставим в модели Х1, так как он имеет чуть более тесную связь с результатом и чуть менее тесно связан с третьим фактором X3.
Таким образом, будем строить уравнение множественной регрессионной зависимости Y от X1 и X3.
2.
В рассматриваемой зависимости
n = 10 – число наблюдений
k = 2 – число факторов.
Рассчитываем параметры a0, a1 и a2 множественной линейной модели
Y=a0+a1X1+a2X3
по методу наименьших квадратов.
Используем пакет Анализа данных Excel, программа Регрессия
Результаты регрессионного анализа выводятся в четырех таблицах
Парамеры уравнения регрессии выводятся в третьей таблице в столбце Коэффициенты:
a0=124,130, a1=0,630, a2=-0,523
Записываем уравнение множественной линейной модели
Y=124,130+0,630X1-0,523X3
При увеличении Среднегодовой ставки по кредитам (X1) на 1 Объем прибыли (Y) увеличивается в среднем на 0,630.
При увеличении Размера внутрибанковских расходов (X3) на 1 Объем прибыли (Y) снижается в среднем на 0,523.
3. Определяем характеристики модели:
линейный коэффициент множественной корреляции
выводится в первой таблице в строке Множественный R
rY,X1,X3=0,6432 – связь в уравнении средняя
коэффициент детерминации
выводится в первой таблице в строке R-квадрат
41,38% вариации зависимой переменной Y (Объем прибыли) объясняется вариацией факторов X1 (Среднегодовая ставка по кредитам) и X3 (Размер внутрибанковских расходов).
Для сравнения силы влияния факторов на зависимую переменную вычислим коэффициенты эластичности, бета- и дельта- коэффициенты.
средние коэффициенты эластичности и их интерпретация
Средние коэффициенты эластичности вычисляются через коэффициенты уравнения множественной регрессии по формулам
Эj=ajXjY

X1=68,6 – среднее значение X1
X3=160,8 – среднее значение X3
Y=83,2 – среднее значение Y
В уравнении
Y=124,130+0,630X1-0,523X3
a1=0,630
a2=0,523 (перед фактором X3)
Э1=0,630*68,683,2=0,520
Э3=0,523*160,883,2=-1,012
При увеличении Среднегодовой ставки по кредитам (X1) на 1% Объем прибыли (Y) увеличивается в среднем на 0,52%.
При увеличении Размера внутрибанковских расходов (X3) на 1% Объем прибыли (Y) снижается в среднем на 1,012%.
бета-коэффициенты и их интерпретация
Бета коэффициенты рассчитываются по формулам
βj=ajSXjSY
aj – коэффициенты уравнения
SXj=X-Xj2n
– среднеквадратическое отклонение переменной Xj
SY=Y-Y2n
– среднеквадратическое отклонение переменной Y
SX1=1848,4010=19,964
SX3=1113,6010=13,596
SY=3985,6010=10,553
a1=0,630 ; a2=0,523 (перед фактором X3)
β1=0,630*19,96410,553=0,429
β1=0,0,523*13,,59610,553=-0,277
Бета-коэффициенты показывают, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется значение зависимой переменной Y при изменении фактора Xj на одно свое среднеквадратическое отклонение при фиксированном значении остальных факторов.
дельта- коэффициенты и их интерпретация
Формулы расчета дельта-коэффициентов
Δj=rY,Xj*βjR2
rY,Xj – парные коэффициенты корреляции зависимой переменной Y с каждым фактором (рассчитаны выше): rY,X1=0,607 , rY,X3=-0,553
βj – бета коэффициенты: β1=0,429 , β1=-0,277
R2 – коэффициент детерминации в множественной регрессии: R2=0,4138
Δ1=0,607*0,4290,4138=0,630
Δ2=-0,553*-0,2770,4138=0,370
Дельта-коэффициент показывает долю влияния на зависимую переменную Y фактора Xj в суммарном влиянии всех факторов, включенных в уравнение.
Таким образом, по величинам бета-коэффициентов и дельта-коэффициентов делаем вывод, что фактор X1 (Среднегодовая ставка по кредитам) сильнее влияет на зависимую переменную Y (Объем прибыли) чем фактор X3 (Размер внутрибанковских расходов).
4

.
Для оценки надежности уравнения проверим значимость уравнения регрессии в целом и рассчитаем среднюю относительную ошибку.
Проверка значимости уравнения проводится с помощью F-критерия Фишера.
Расчетное значение критерия:
F=R21-R2*n-k-1k=0,41381-0,41382*10-2-12=2,47
можно было взять значение F из таблицы Дисперсионный анализ результатов регрессии
Табличное значение критерия Фишера Fтаблα,k1,k2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k1=k=2 и k2=10-k-1=7
Fтабл=4,74
Так как F<Fтабл, то уравнение регрессии в целом НЕзначимо с вероятностью 0,95.
Средняя ошибка аппроксимации
E=1n∙Yi-YiYi∙100%
Остатки ei=Yi-Yi рассчитаны в результатах регрессионного анализа в четвертой таблице Вывод итогов:
E=110∙1,569∙100%=15,69%
Качество уравнения признается удовлетворительным, если средняя ошибка не превышает 10-12%