При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (nj)

При многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (nj) результатов измерений в каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 3.1. Вычислить результат многократных измерений. Таблица 3.1 - Результаты измерений № изм X1 X2 1 483 483 2 482 483 3 482 483 4 486 483 5 483 484 6 484 484 7 484 483 8 481 482 9 480 481 10 481 481 11 483 483 12 494 495

1. Определяем средние значения результатов измерения напряжения X1 и, X2 по формуле (2.1):
X__1=112⋅i=112X1i=483,58; X2=112⋅i=112X2i=483,75.
После вычисления средних значений нужно составить таблицу для определения среднего квадратического отклонения результатов измерения X1 и, X2,
Определяем оценки среднего квадратического отклонения результатов измерения SX1 и SX2 по формуле (2.2):
SX1=i=112(X1i-X1)211=146,916811=3,65. SX2=i=112(X2i-X2)211=148,2511=3,67.
Таблица 3.2 – Данные для расчета СКО
N
изм. X1i X1i - 1 (X1i - 1)2 X2i X2i -X2 (X2i-)2
1 483 -0,58 0,3364 483 -0,75 0,5625
2 482 -1,58 2,4964 483 -0,75 0,5625
3 482 -1,58 2,4964 483 -0,75 0,5625
4 486 2,42 5,8564 483 -0,75 0,5625
5 483 -0,58 0,3364 484 0,25 0,0625
6 484 0,42 0,1764 484 0,25 0,0625
7 484 0,42 0,1764 483 -0,75 0,5625
8 481 -2,58 6,6564 482 -1,75 3,0625
9 480 -3,58 12,8164 481 -2,75 7,5625
10 481 -2,58 6,6564 481 -2,75 7,5625
11 483 -0,58 0,3364 483 -0,75 0,5625
12 494 10,42 108,5764 495 11,25 126,5625
∑ = 5803
∑ = 146,9168 =SUM(ABOVE) ∑ = 5805
∑= 148,25
2. При проведении измерений возможны грубые ошибки (промахи), обусловленные неверным отсчетом или записью показаний, сбоем в работе прибора и рядом других причин. Поэтому, каждый из промахов подлежит статистической проверке.
Проверим наличие грубых промахов с помощью v-критерия:
В нашем случае по данным таблицы 3.2:
v1=10,423,65=2,85 и v2=11,253,67=3,07.
Задавшись доверительно вероятностью Р =0,95, с учетом q=1-P=1-0,95=0,05 и числа измерений n=12 по таблице В.1 МУ определяем теоретическое значение критерия:
vq=2,387.
Так как выполняется:
v1=2,85>vq=2,387 и v2=3,07>vq=2,387,
то значения X1 12=494 и X2 12=495 исключаем как грубые промахи и повторяем вычисления для числа измерений n=11 в обеих сериях.
Таблица 3.3– Данные по откорректированным выборкам
N
изм. X1i X1i - 1 (X1i - 1)2 X2i X2i -X2 (X2i-)2
1 483 0,36 0,1296 483 0,27 0,0729
2 482 -0,64 0,4096 483 0,27 0,0729
3 482 -0,64 0,4096 483 0,27 0,0729
4 486 3,36 11,2896 483 0,27 0,0729
5 483 0,36 0,1296 484 1,27 1,6129
6 484 1,36 1,8496 484 1,27 1,6129
7 484 1,36 1,8496 483 0,27 0,0729
8 481 -1,64 2,6896 482 -0,73 0,5329
9 480 -2,64 6,9696 481 -1,73 2,9929
10 481 -1,64 2,6896 481 -1,73 2,9929
11 483 0,36 0,1296 483 0,27 0,0729
∑ = 5309
∑ = 28,5456 =SUM(ABOVE) ∑ = 5310
∑= 10,1819
X__1=111⋅i=111X1i=482,64; X2=111⋅i=111X2i=482,73.
SX1=i=111(X1i-X1)210=28,545610=1,69

. SX2=i=111(X2i-X2)210=10,181910=1,01.
В нашем случае по данным таблицы 3.3:
v1=3,361,69=1,99 и v2=1,731,01=1,70.
Задавшись доверительно вероятностью Р =0,95, с учетом q=1-P=1-0,95=0,05 и числа измерений n=11 по таблице В.1 МУ определяем теоретическое значение критерия:
vq=2,383.
Так как выполняется:
v1=1,99<vq=2,383 и v2=1,70<vq=2,383,
то все оставшиеся значения в обеих сериях считаем достоверными.
3. Проверяется гипотеза о нормальности распределения для обеих серий результатов наблюдений по составному критерию.
Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле:
(3.1)
Где - смещенное СКО, которое определяется следующей формулой:
(3.2)
-2350135104838500Гипотеза о нормальности подтверждается, если:
d1-q /2 < d < dq/2 ,
где d1-q /2 и dq/2 - процентные точки распределения значений d, которые находятся по таблице, причём q – выбранный заранее уровень значимости критерия.
Критерий 2. Гипотеза о нормальности распределения результатов измерения подтверждается, если не более m разностей │xi - │ превзошли значения Δ. Здесь
Δ = S·Zp/2 (3.3)
Zp/2 – верхняя 100 ·P/2 – процентная точка нормированной функции Лапласа, определяемая по соответствующей таблице. Значения доверительной вероятности P выбирают также из таблиц.
Применив критерий 1, для первой серии измерения вычисляется SX1* по формуле (3.2):
SX1*=i=111(X1i-X1)211=28,545611=1,61.
Аналогично для второй серии измерения вычисляемSX2* :
SX2*=i=111(X2i-X2)211=10,181911=0,96.
Определяем значение критерия 1 для первой серии измерения по формуле (3.1):
d1=i=1nX1i-X1n*SX1*=14,3611*1,61=0,8108.
Аналогично для второй серии измерения вычисляем:
d2=i=1nX2i-X2n*SX2*=8,3511*0,96=0,7907.
Задавшись доверительной вероятностью P1 = 0,98 и для уровня значимости qx2= 1 - Р1 по таблице определяются квантили распределения d 1-0,5q =0,6675 и d0,5q =0,9359