При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов

При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 5.1. Определить уравнение регрессии Y по X: Y = f (X). Таблица 5.1 - Исходные данные X Y 5 49 15 149 21 205 22 215 23 226 24 237 25 245 25 245 26 258 27 265 28 275 29 286 30 293 35 355 45 449 55 541 65 539 75 732 85 832 95 922

В осях координат X и Y построим n экспериментальных точек с координатами Xi ,Yi, i (1…20) и по характеру расположения точек примем гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X.
В качестве уравнения регрессии целесообразно использовать полином степени m:
Y = А + В∙Х + С∙Х2 + ... + К∙Хm.
В первом приближении для решения данной задачи примем m = 1, т.е.
Y = А + В∙Х.
Определим параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо:
– составить систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:
; ; ; … ; ,
где .
Например, для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:
462661023685500
Решим систему уравнений и определим неизвестные параметры. Например, для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:
.
B=9,7407;A=3,1891.
Проверим правильность выбора вида уравнения регрессии

. Для этого следует применить непараметрические критерии серий и инверсий:
– рассчитаем отклонения экспериментальных значений Yi от соответствующих значений Ypi, рассчитанных для того же аргумента Xi по полученному уравнению регрессии:
Yi = Yi – Ypi;
Yрi
Yi
∆Yi
51,89 49 -2,89
149,30 149 -0,30
207,74 205 -2,74
217,48 215 -2,48
227,22 226 -1,22
236,97 237 0,03
246,71 245 -1,71
246,71 245 -1,71
256,45 258 1,55
266,19 265 -1,19
275,93 275 -0,93
285,67 286 0,33
295,41 293 -2,41
344,11 355 10,89
441,52 449 7,48
538,93 541 2,07
636,33 539 2,67
733,74 732 -1,74
831,15 832 0,85
928,55 922 -6,55
Построим в осях координат X, Y полученные значения Yi для соответствующих Xi.
Рассчитаем число серий N в полученной последовательности Yj (под серией в данном случае понимают последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следуют отклонения противоположного знака или нет вообще никаких отклонений):
N=6.
Задавшись доверительной вероятностью Р (уровень значимости  = 1 – Р) для n = 20 определим по соответствующей таблице (таблица Ж.1) допустимые границы N1-0,5 и N0,5:
N1-0,5=6; N0,5=15.
Так как условие 6 N 15 выполняется, то уравнения регрессии выбрано верно.
Рассчитаем число инверсий А в полученной последовательности Yj (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что Yj > Yjk при k > j):
,
где Aj – это число инверсий j-гo члена последовательности, т.е