Продавец лимонада имеет производственную функцию вида f (X1, X2) = X11/3 * X21/3 ,

Продавец лимонада имеет производственную функцию вида f (X1, X2) = X11/3 * X21/3 , где X1 – количество используемых лимонов (шт.), X2 – число человеко-часов, необходимых для получения лимонного сока. Пусть P – цена 1 лимона, w – ставка заработной платы. Найдите самый дешевый способ производства лимонада в количестве Y. Чему равны издержки производства?

Самый дешевый способ производства (минимизация издержек) достигается при условии:
MP1/P = MP2/w или MP1/MP2 = w/P
MP1MP2=df/dX1f/dX2=13*X1-23*X213X113*13*X2-23=X2X1=Pw, отсюда X2 = PwX1.
Таким образом, самый дешевый способ производства будет достигнут при условии использования ресурсов в объеме X1 и X2 = PwX1 . Объем производства при этом будет равен:
Y = X11/3*X21/3 = X11/3*(PwX1)1/3 =(P/w)1/3* X12/3,
отсюда оптимальные объемы использования ресурсов равны:
X1 = ((w/P)1/3*y)3/2 = (w/P)1/2*y3/2
X2 = PwX1= (P/w)* (w/P)1/2*y3/2 = (P/w)1/2*y3/2
При этом издержки производства будут равны:
С = PX1 + wX2 = PX1 + w*PwX1 = PX1 + PX1 = 2PX1 = 2P*(w/P)1/2*y3/2 = 2(Pw)1/2y3/2.

. Объем производства при этом будет равен:
Y = X11/3*X21/3 = X11/3*(PwX1)1/3 =(P/w)1/3* X12/3,
отсюда оптимальные объемы использования ресурсов равны:
X1 = ((w/P)1/3*y)3/2 = (w/P)1/2*y3/2
X2 = PwX1= (P/w)* (w/P)1/2*y3/2 = (P/w)1/2*y3/2
При этом издержки производства будут равны:
С = PX1 + wX2 = PX1 + w*PwX1 = PX1 + PX1 = 2PX1 = 2P*(w/P)1/2*y3/2 = 2(Pw)1/2y3/2.