Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формуле Крамера;

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формуле Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса. 3x1-x2+x3=12x1+2x2+4x3=65x1+x2+2x3=3

В задаче дана неоднородная система линейных уравнений с тремя неизвестными. Для того чтобы проверить совместность системы, найдем определитель основной матрицы системы:
∆=3-11124512=32412--11452+11251=
34-4+2-20+1-10=-27
Так как ∆≠0, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение.
1.Найдем значения неизвестных методом Крамера 
Главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:
∆=detA=3-11124512=-27
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆1=12-11624312=122412--16432+16231=
=12∙4-4+1∙12-12+1∙6-6=0;
∆2=3121164532=3∙6432-12∙1452+1∙1653=
=3∙12-12-12∙2-20+1∙3-30=0+216-27=189;
∆3=3-112126513=3∙2613--1∙1653+12∙1251=
=3∙6-6+1∙3-30+12∙1-10=0-27-108=-135.
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x1, x2 и x3
x1=∆1∆=0-27=0, x2=∆2∆=189-27=-7,x3=∆3∆=-135-27=5.
Сделаем проверку, подставив найденные значения в уравнения системы:
3∙0--7+5=12≡120+2∙-7+4∙5=6≡65∙0+-7+2∙5=3≡3
Получили арифметические тождества, следовательно x1=0,
x2=-7 и  x3=5    – решение системы.
2.Применяем матричный метод к решению системы

. Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=3-11124512, Х=x1x2x3, В=1263
а) Определитель матрицы системы
-27 0 , значит, матричный метод применим.
б) Запишем систему в матричном виде AX B :
3-11124512∙x1x2x3=1263
в) Вычисляем алгебраические дополнения Aij :
A11=2412=0; A12=-1452=18; A13=1251=-9;
A21=--1112=3; A22=3152=1; A23=-3-151=-8;
A31=-1124=-6; A32=-3114=-11; A33=3-112=7.
Транспонированная союзная матрица:
AT=03-6181-11-9-87
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=1-2703-6181-11-9-87=0-1929-23-127112713827-727
Найдем решение
X=A-1∙B=0-1929-23-127112713827-727∙1263=
=0∙12+-19∙6+29∙3-23∙12+-127∙6+1127∙313∙12+812∙6+-727∙3=0-23+23-8-29+1194+169-79=0-75.
Отсюда получаем решение системы: x1=0,x2=-7,x3=5.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера.
3