Пусть функция задается таблично в 5 равноотстоящих точках отрезка , включая его границы. Аппроксимировать

Пусть функция задается таблично в 5 равноотстоящих точках отрезка , включая его границы. Аппроксимировать ее многочленом второй степени, используя метод наименьших квадратов. Вычислить среднеквадратичную погрешность. Построить графики многочлена и функции , отметить исходные точки.

Зададим функцию таблично в 5 равноотстоящих точках отрезка включая его границы
i xi yi
0 0,2 0,199
1 0,25 0,247
2 0,3 0,296
3 0,35 0,343
4 0,4 0,389
Аппроксимируем заданную таблично функцию многочленом второй степени вида , используя метод наименьших квадратов.
Система уравнений для нахождения a, b и c имеет вид:
Для нахождения коэффициентов и свободных членов системы заполним следующую таблицу:
i xi yi xiyi xi2 xi3 xi4 xi2yi
0 0,2 0,199 0,040 0,040 0,008 0,002 0,008
1 0,25 0,247 0,062 0,063 0,016 0,004 0,015
2 0,3 0,296 0,089 0,090 0,027 0,008 0,027
3 0,35 0,343 0,120 0,123 0,043 0,015 0,042
4 0,4 0,389 0,156 0,160 0,064 0,026 0,062
∑ 1,500 1,474 0,466 0,475 0,158 0,054 0,154
Получаем следующую систему:
Откуда , ,
Следовательно искомая аппроксимирующая функция
.
Из всех квадратичных она лучше всего приближает исходные данные по методу наименьших квадратов.
Вычислим среднеквадратичную погрешность.
Вычисления сведем в таблицу:
i xi yi F2(xi) (yi-F2(xi))^2
0 0,2 0,199 0,1987 0,000000066
1 0,25 0,247 0,2476 0,000000395
2 0,3 0,296 0,2957 0,000000118
3 0,35 0,343 0,3428 0,000000029
4 0,4 0,389 0,3891 0,000000020
∑
0,000000629
Рис