Пусть цена продукции равна 20 (р = 20), функция совокупных издержек выглядит так: TC

Пусть цена продукции равна 20 (р = 20), функция совокупных издержек выглядит так: TC = 80 + 4q + 0,2q2, где ТС – совокупные издержки, q – объем производства. Найти: А) точку максимальной прибыли, Б) соответствующие ей объемы выручки, издержек и прибыли, В) точку оптимального масштаба производства, Г) доказать выполнение теоремы об оптимальном объеме производства (МС = р), Д) доказать, что в точке оптимального масштаба производства средние издержки равны предельным издержкам.

А) Условие максимума:
MC = MR = p
Где МС – предельные издержки (MC = TC’),
MR – предельный доход (в условиях совершенной конкуренции равен р).
МС = (80 + 4q + 0,2q2)’ = 4 + 0,4q
4 + 0,4q = 20
q = 40 ед.
Б) Выручка:
TR = p * q = 20 * 40 = 800 ден. ед.
Издержки:
TC = 80 + 4*40 + 0,2*402 = 560 ден.ед.
Прибыль:
П = TR – TC = 800 – 560 = 240 ден . ед.
В) Точка оптимального масштаба производства, при которой средние издержки минимальные, т.е.:
AC’ = 0
Где АС – средние издержки:
АС = TC / q = (80 + 4q + 0,2q2) / q = 80q-1 + 4 + 0,2q
AC’ = (80q-1 + 4 + 0,2q)’ = 80q-2 + 0,2
80q-2 + 0,2 = 0
q = 20 ед.
Г) Максимум: MC = MR
MR = TR’ = (p*q)’ = (20q)’ = 20 = p
Отсюда: МС = р
Д) АС(20) = TC / q = (80 + 4 * 20 + 0,2 * 202) / 20 = 12 ден

. ед.
В) Точка оптимального масштаба производства, при которой средние издержки минимальные, т.е.:
AC’ = 0
Где АС – средние издержки:
АС = TC / q = (80 + 4q + 0,2q2) / q = 80q-1 + 4 + 0,2q
AC’ = (80q-1 + 4 + 0,2q)’ = 80q-2 + 0,2
80q-2 + 0,2 = 0
q = 20 ед.
Г) Максимум: MC = MR
MR = TR’ = (p*q)’ = (20q)’ = 20 = p
Отсюда: МС = р
Д) АС(20) = TC / q = (80 + 4 * 20 + 0,2 * 202) / 20 = 12 ден