Радиус-вектор частицы изменяется по закону r=0,2sin2t∙i+0,2cos2t∙j+0,1t2∙k. Определить для момента времени t0=1 с: а) путевую

Радиус-вектор частицы изменяется по закону r=0,2sin2t∙i+0,2cos2t∙j+0,1t2∙k. Определить для момента времени t0=1 с: а) путевую скорость частицы; б) модуль ускорения частицы; в) тангенциальное ускорение; г) нормальное ускорение; д) радиус кривизны траектории. Дано: r=0,2sin2t∙i+0,2cos2t∙j+0,1t2∙k; t0=1 с. Найти: v; a; an; aτ; R.

А) Путевую скорость частицы:
v=dr(t)dt=ddt0,2sin2t∙i+0,2cos2t∙j+0,1t2∙k=0,4cos2t∙i-0,4sin2t∙j+0,2t∙k;
следовательно,
v(t)=v(t)=(0,4cos2t)2+(-0,4sin2t)2+(0,2t)2.
Для момента времени t0=1 с:
v=v1=0,4cos2·12+0,4sin2·12+0,2·12≈0,45мс.
б) Модуль ускорения частицы:
a=dv(t)dt=ddt0,4cos2t∙i-0,4sin2t∙j+0,2t∙k=-0,8sin2t∙i-0,8cos2t∙j+0,2∙k;
следовательно,
a(t)=a(t)=(-0,8sin2t)2+(-0,8cos2t)2+(0,2)2.
Для момента времени t0=1 с:
a=a1=-0,8sin⁡(2·1)2+-0,8cos⁡(2·1)2+0,22≈0,825мс2 .
в) Проекция вектора a на направление скорости можно определить, используя скалярное произведение:
aτ(t)=a,τ=a,vv=-0,8sin2t∙i-0,8cos2t∙j+0,2∙k∙(0,4cos2t∙i-0,4sin2t∙j+0,2t∙k)0,45=-0,16sin4t+0,16sin4t+0,04t0,45≈0,089t;
следовательно,
aτ=aτ1≈0,89·1≈0,089мс2

.
в) Проекция вектора a на направление скорости можно определить, используя скалярное произведение:
aτ(t)=a,τ=a,vv=-0,8sin2t∙i-0,8cos2t∙j+0,2∙k∙(0,4cos2t∙i-0,4sin2t∙j+0,2t∙k)0,45=-0,16sin4t+0,16sin4t+0,04t0,45≈0,089t;
следовательно,
aτ=aτ1≈0,89·1≈0,089мс2