Решите задачу Коши для уравнения y'=ln22x+1y,y0=2 численно с шагом h=2 на отрезке [0;10]: а) методом

Решите задачу Коши для уравнения y'=ln22x+1y,y0=2 численно с шагом h=2 на отрезке [0;10]: а) методом Эйлера; б) модифицированным методом Эйлера; в) построить ломанные Эйлера, проведя кусочно-линейную интерполяцию полученных решений; г) найти точное аналитическое решение и построить на одном графике с численными решениями, вычислить погрешности в узлах отрезка.

А) метод Эйлера численного решения задачи Коши y'=fx;y, yx0=y0 на заданном отрезке с шагом h заключает в последовательном вычислении значений:
yi+1=yi+hfxi;yi
Т.е. получаем ряд точек (xi;yi), приближенно соответствующих решению задачи Коши. Т.е. в нашем случае выполняем вычисления по формулам:
yi+1=yi+2ln22xi+1yi
Выполним расчеты в Excel:
Рабочий лист в режиме отображения формул:
б) в модифицированном методе Эйлера (метод Эйлера-Коши) численного решения задачи Коши y'=ft;y, yt0=y0 на заданном отрезке с шагом h вначале определяется «грубое» приближение:
yi+1=yi+hfxi;yi
После чего вычисляется приближенное решение задачи Коши:
yi+1=yi+hfxi+1;yi+1+fxi;yi2
Т.е . в нашем случае выполняем вычисления по формулам:
- «грубое» приближение:
yi+1=yi+2ln22xi+1yi
- приближенное решение задачи Коши:
yi+1=yi+ln22xi+1+1yi+1+2xi+1yi
Выполним расчеты в Excel:
Рабочий лист в режиме отображения формул:
в) строим ломанные Эйлера:
г) найдем точное аналитическое решение уравнения:
y'=ln22x+1y,y0=2
Имеем:
dydx=ln22x+1y
ydy=ln2∙2x+1dx
Интегрируем:
ydy=ln2∙2x+1dx
y22=2x+1+c2
y=±2x+2+c
Т.к

. в нашем случае выполняем вычисления по формулам:
- «грубое» приближение:
yi+1=yi+2ln22xi+1yi
- приближенное решение задачи Коши:
yi+1=yi+ln22xi+1+1yi+1+2xi+1yi
Выполним расчеты в Excel:
Рабочий лист в режиме отображения формул:
в) строим ломанные Эйлера:
г) найдем точное аналитическое решение уравнения:
y'=ln22x+1y,y0=2
Имеем:
dydx=ln22x+1y
ydy=ln2∙2x+1dx
Интегрируем:
ydy=ln2∙2x+1dx
y22=2x+1+c2
y=±2x+2+c
Т.к