Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности. 2

Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности потребителя. UX1,X2=8X1X2 Рассчитайте спрос на товар Х1 и Х2. Доход потребителя составляет 340 усл.д.е., а цены товаров соответственно равны 20 и 15 усл.д.е.  Определите прямые и перекрестные коэффициенты эластичности спроса по цене, коэффициент эластичности спроса по доходу потребителя. Проанализируйте полученные результаты.

Решение задачи потребительского выбора сведем к решению следующей системы уравнений:
U1U2=p1p2p1X1+p2X2=I→dUdx1dUdx2=p1p2p1X1+p2X2=I→50x225x1x2=p1p2p1X1+p2X2=I→50x225x1=p1p2p1X1+p2X2=I→2x2x1=p1p2p1X1+p2X2=I
Рассчитаем U1 и U2, используя дифференциальные уравнения:
U1=dUdx1= 8x2; U2=dUdx2=4x1x2.,
Где U1 и U2- предельные полезности
Для получения функции спроса необходимо решить полученную систему уравнений в общем виде.
Выразим из первого уравнения переменную X1. Получим:
2x2x1=p1p2→ X1=2x2p2p1
Подставим полученный X1 во второе уравнение (p1X1+p2X2=I) Таким образом, найдем переменную X2 и определим функцию спроса на второй товар.
p1X1+p2X2=I → p12x2p2p1+p2X2=I → 2x2p2+p2X2=I → 3x2p2=I → X2=I3p2
Подставим полученную функцию в выражение для X1. Таким образом, определим функцию спроса на первый товар.
X1=2*I3p2p2p1 → X1=2I3p1 → X1= 2I3p1
Подставив исходные данные, получим следующие результаты:
Спрос на первый и второй товар соответственно:
X1= 2I3p1= 2*3403*20=68060=11,333; X2=I3p2=3403*15=34045=7,556;
Функция полезности примет следующий вид:
UX1,X2=8*11,333*7,556=249,219
Ответ: При существующих ценах на товар и собственном доходе I=340 усл

. ден. ед. потребителю необходимо покупать товар Х1 в количестве 11,333 ед., товар Х2 в количестве 7,556, при этом расчете функция полезности будет максимальной U=2177,324 усл.ед.
Анализ результатов
Коэффициент прямой эластичности спроса по цене
Коэффициент прямой эластичности спроса характеризует отношение относительного изменения объема спроса к относительному изменению цены и показывает, на сколько процентов изменяется объем спроса на товар при изменении его цены на 1%.
P – цена данного товара; Q – объем спроса на данный товар; I – доход потребителя