Решите неравенство log53-x2-53-x2+16-1+log53-x2-53-x2+16-1>log537-x2-12.

Решите неравенство log53-x2-53-x2+16-1+log53-x2-53-x2+16-1>log537-x2-12.

Запишем ОДЗ неравенства.
ОДЗ: 3-x2-53-x2+16-1>0,3-x2-53-x2+16-1>0,3-x2+16-1≠0,37-x2-1≠0.
Для решения неравенства и ОДЗ выполним замену: 3-x2=t t>0,
ОДЗ: t-5t∙316-1>0,t-5t∙316-1>0,t∙316-1≠0,t∙37-1≠0. откуда получаем равносильную систему:
t-5t∙316-1>0,t∙37-1≠0.
Неравенство системы решим методом отрезков.
t-5=0 тогда t=5;
t∙316-1=0 тогда t=3-16≈2,3∙10-8.
Исследуем знаки выражения t-5t∙316-1 относительно найденных точек:
С учетом второго неравенства системы t∙37-1≠0, где t≠3-7, и условия полученного при введении замены t>0 получаем ОДЗ исходного неравенства: t∈0; 3-16∪(5;+∞).
Решаем исходное неравенство:
log5t-53-16t-1+log5t-53-16t-1>log537t-12;
log5t-53-16t-1∙t-53-16t-1>log537t-12;
log5t-52>log537t-12;
Поскольку основание логарифма a=5>1, следовательно,
t-52>37t-12;
t-52-37t-12>0;
(t-5-37t-1)∙(t-5+37t-1)>0;
(t-5-37t+1)∙(t-5+37t-1)>0;
(t-37t-4)∙(t+37t-6)>0;
Полученное неравенство решаем методом отрезков.
t-37t-4=0, тогда t1-37=4 или t=41-37≈-1,8∙10-3;
t+37t-6=0, тогда t1+37=6 или t=6/1+37≈2,7∙10-3