Решите систему линейных алгебраических уравнений 6x1-3x2+x3=-9,x1-x2+2x3=-2,x1-4x2+x3=-5, тремя способами: а) методом Гаусса или методом Гаусса-Жордана; б) методом

Решите систему линейных алгебраических уравнений 6x1-3x2+x3=-9,x1-x2+2x3=-2,x1-4x2+x3=-5, тремя способами: а) методом Гаусса или методом Гаусса-Жордана; б) методом Крамера; в) средствами матричного исчисления (запишите систему уравнений в виде матричного уравнения 𝐴𝑋 = 𝐵 и решите его по формуле X = A-1B).

А) Решаем систему уравнений методом Гаусса. Сначала поменяем местами 1-е уравнение с 2-м уравнением:
x1-4x2+x3=-5,x1-x2+2x3=-2,6x1-3x2+x3=-9,
Прямой ход метода Гаусса. Приводим систему к верхнему треугольному виду (при помощи 1-го уравнения исключим x1 из 2-го и 3-го уравнений; при помощи нового 2-го уравнения исключим x2 из нового 3-го уравнения).
Вычтем из 2-го уравнения 1-е уравнение:
-x1-4x2+x3=-5x1-x2+2x3=-2_______________________ -3x2-x3=-3.
Вычтем из 3-го уравнения 1-е уравнение, умноженное на 6:
-6x1-24x2+6x3=-306x1-3x2+x3=-9_______________________ -21x2+5x3=-21.
После исключения x1 из 2-го и 3-го уравнений система приобрела вид
x1-4x2+x3=-5,-3x2-x3=-3,-21x2+5x3=-21.
Вычтем из 3-его уравнения 2-е уравнение, умноженное на 7:
--21x2-7x3=-21-21x2+5x3=-21_______________________ -12x3=0.
Обратный ход метода Гаусса. Находим последовательно x3 из 3-го уравнения, x2 из 2-го уравнения, x1 из 1-го уравнения:
x3=0-12=0,
x2=3-x33=3-03=1,
x1=-5+4x2-x3=-5+4∙1-0=-1.
Проверка

. Подставим x1=-1, x2=1, x3=0 в первоначальную систему. Получаем
6x1-3x2+x3=-9,x1-x2+2x3=-2,x1-4x2+x3=-5,
6∙(-1)-3∙1+0=-9,-1-1+2∙0=-2,-1-4∙1+0=-5,
-6-3=-9-верно,-1-1+0=-2 -верно,-1-4+0=-5-верно.
Ответ. а) x1=-1, x2=1, x3=0.
[1] Страницы: 12-13.
б) Решаем систему уравнений методом Крамера. Вычисляем главный определитель системы и вспомогательные определители методом треугольника:
∆=6-311-121-41=6∙-1∙1+1∙-4∙1+2∙-3∙1-
-1∙-1∙1-2∙-4∙6-1∙-3∙1=-6-4-6+1+48+3=36.
∆1=-9-31-2-12-5-41=-9∙-1∙1+1∙-2∙-4+2∙-3∙-5-
-1∙-1∙-5-2∙-4∙-9-1∙-2∙-3=
=9+8+30-5-72-6=-36.
∆2=6-911-221-51=6∙-2∙1+1∙-5∙1+2∙-9∙1-
-1∙-2∙1-2∙-5∙6-1∙-9∙1=-12-5-18+2+60+9=36.
∆3=6-3-91-1-21-4-5=6∙-1∙-5+1∙-4∙-9+1∙-3∙-2-
-1∙-1∙-9-6∙-4∙-2-1∙-3∙-5=
=30+36+6-9-48-15=0.
Вычисляем x1, x2, x3 по формулам Крамера:
x1=∆1∆=-3636=-1,
x2=∆2∆=3636=1,
x3=∆3∆=036=0.
Проверка. Поверку можем не делать, так как решение системы уравнений, полученное методом Крамера, совпадает с решением системы уравнений, полученным методом Гаусса