Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности

Решите задачу потребительского выбора, определив функции потребительского спроса на товары при следующей функции полезности потребителя. UX1,X2=10X1*5X2 Рассчитайте спрос на товар Х1 и Х2. Доход потребителя составляет 80 усл.д.е., а цены товаров соответственно равны 2 и 10 усл.д.е.  Определите прямые и перекрестные коэффициенты эластичности спроса по цене, коэффициент эластичности спроса по доходу потребителя. Проанализируйте полученные результаты.

Решение задачи потребительского выбора сведем к решению следующей системы уравнений:
U1U2=p1p2p1X1+p2X2=I→dUdx1dUdx2=p1p2p1X1+p2X2=I→50x225x1x2=p1p2p1X1+p2X2=I→50x225x1=p1p2p1X1+p2X2=I→2x2x1=p1p2p1X1+p2X2=I
Рассчитаем U1 и U2, используя дифференциальные уравнения:
U1=dUdx1= 50x2; U2=dUdx2=25x1x2.
Для получения функции спроса необходимо решить полученную систему уравнений в общем виде.
Выразим из первого уравнения переменную X1. Получим:
2x2x1=p1p2→ X1=2x2p2p1
Подставим полученный X1 во второе уравнение (p1X1+p2X2=I) Таким образом, найдем переменную X2 и определим функцию спроса на второй товар.
p1X1+p2X2=I → p12x2p2p1+p2X2=I → 2x2p2+p2X2=I → 3x2p2=I → X2=I3p2
Подставим полученную функцию в выражение для X1. Таким образом, определим функцию спроса на первый товар.
X1=2*I3p2p2p1 → X1=2I3p1 → X1= 2I3p1
Подставив исходные данные, получим следующие результаты:
Спрос на первый и второй товар соответственно:
X1= 2I3p1= 2*803*2=1606=26,667; X2=I3p2=803*10=8030=2,667;
Функция полезности примет следующий вид:
UX1,X2=10*26,667*52,667=888,8896 =2177,324
Ответ: При существующих ценах на товар и собственном доходе I=80 усл

. ден. ед. потребителю необходимо покупать товар Х1 в количестве 26,667 ед., товар Х2 в количестве 2,667ед., при этом функция полезности будет максимальной U=2177,324 усл.ед.
Анализ результатов
Коэффициент прямой эластичности спроса по цене
Коэффициент эластичности показывает степень количественного изменения одного фактора при изменении другого на1%.
Q – функция спроса; P - цена; I – доход потребителя. Указываем модуль, потому что значение может быть отрицательны.
ED=dQdP*QP
ED для первого товара – обозначим как Ed1.
Ed1=2I3p1p1'*p12I3p1=2I3*-1p12*3p122I=-1=1.
ED для второго товара – обозначим как Ed2.
Ed2=I3p2p2'*p2I3p2=I3*-1p22*3p12I=-1=1.
Анализируя оба показателя, мы можем заметить, что в обоих случаях Ed=1 (единичная эластичность)