С помощью коэффициентов Фехнера, Спирмена и Кендала определить степень и направление связи между признаками

С помощью коэффициентов Фехнера, Спирмена и Кендала определить степень и направление связи между признаками по данным табл. 7. Построить линейное равнение регрессии, оценить тесноту связи и адекватность регрессионной модели. Таблица 7 – Данные наблюдений за производством продукции и ее себестоимостью Признаки Значения Производство продукции в смену, шт. 60,0 6,6 20,8 31,2 9,8 18,0 120,7 Себестоимость единицы изделия, руб. 100,0 8,8 112,0 78,0 19,6 60,0 158,1

Введем обозначения:
Х - производство продукции в смену, шт.;
Y - себестоимость единицы изделия, руб.
Коэффициент Фехнера определим по формуле:
, где na - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; nb - число несовпадений.
Построим таблицу.
№ Xi
Yi
Знаки отклонений от средней X Знаки отклонений от средней Y Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков
1 60 100 + + A
2 6,6 8,8 - - A
3 20,8 112 - + B
4 31,2 78 - + B
5 9,8 19,6 - - A
6 18 60 - - A
7 120,7 158,1 + + A
Итого 267,1 536,5
Получаем:
; ;
.
Значение коэффициента свидетельствует о том, что можно предполагать наличие прямой связи.
Коэффициент Спирмена определим по формуле:
, где
d – разность рангов.
Построим вспомогательную таблицу.
№ X Y ранг X, dx
ранг Y, dy
(dx - dy)2
1 60 100 6 5 1
2 6,6 8,8 1 1 0
3 20,8 112 4 6 4
4 31,2 78 5 4 1
5 9,8 19,6 2 2 0
6 18 60 3 3 0
7 120,7 158,1 7 7 0
Итого 267,1 536,5 - - 6
Получаем:
.
Связь между объемом производства продукции в смену и себестоимостью единицы продукции сильная и прямая.
Коэффициент Кендала определим по формуле:
Упорядочим данные по X

. В ряду Y справа от 1 расположено 6 рангов, превосходящих 1, следовательно, 1 породит в Р слагаемое 6. Справа от 2 стоят 5 ранга, превосходящих 2 (это 3, 6, 4, 5, 7), т.е. в Р войдет 5 и т.д. В итоге Р = 19 и с использованием формул имеем.
№ X Y ранг X, dx
ранг Y, dy
P Q
1 6,6 8,8 1 1 6 0
2 9,8 19,6 2 2 5 0
3 18 60 3 3 4 0
4 20,8 112 4 6 1 2
5 31,2 78 5 4 2 0
6 60 100 6 5 1 0
7 120,7 158,1 7 7 0 0
Итого 267,1 536,5 - - 19 2
Получаем:
.
Связь между объемом производства продукции в смену и себестоимостью единицы продукции сильная и прямая.
Построим линейное равнение регрессии, оценим тесноту связи и адекватность регрессионной модели.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a.
Для расчета параметров уравнения а и b решим систему уравнений:
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.
№ x y x2 y2 x*y
1 60 100 3600 10000 6000
2 6,6 8,8 43,56 77,44 58,08
3 20,8 112 432,64 12544 2329,6
4 31,2 78 973,44 6084 2433,6
5 9,8 19,6 96,04 384,16 192,08
6 18 60 324 3600 1080
7 120,7 158,1 14568,5 24995,6 19082,7
Итого 267,1 536,5 20038,2 57685,2 31176
Для наших данных система уравнений имеет вид
Решив систему уравнений получаем: b = 1,0872, a = 35,1595.
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 1,0872 x + 35,1595.
Оценим тесноту связи с помощью коэффициента корреляции:
.
В нашем примере связь между признаком Y и фактором X высокая и прямая.
Определим коэффициент детерминации:
, т