Система двух непрерывных случайных величин (Х,У) имеет равномерное распределение в области D= (х,у) х2

Система двух непрерывных случайных величин (Х,У) имеет равномерное распределение в области D= (х,у) х2 + у21; 0 у; yх . Найти: плотность распределения; вероятность Р[(Х,У)G] попадания в область G=(х,у) х2+у2 1; у - x; плотности распределения f1(x) иf2(x) случайных величин Х и У и условные плотности (х у) и (у х); математические ожидания М(Х), М(У) и центр рассеивания; дисперсии D(X), D(Y); корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.

1) Для нахождения плотности распределения построим график области D– это область заштрихованная красным.
Так как двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно в области
D, то плотность распределения имеет вид:
fx,y=1/SD,x,y∈D,0,x,y∉D.
В нашем случае SD – это разница между3/8 площади окружности иSA(площадь, заштрихованная зеленым)
SA=-22221-x2-22dx=π-24
1-x2-22dx=1-x2dx-221dx=arcsinx2+x1-x22-x22+C
SD=3πr28-π-24=3π-2π+48=π+48
Таким образом, плотность распределения имеет вид
fx,y=8π+4,x,y∈D,0,x,y∉D.
2) Вероятность Р[(Х,У)G] попадания в область G=(х,у) х2+у2 1; у - xопределяется следующим образом:
PX,YG=Gfx,ydxdy
Постоим график области G – заштриховано голубым цветом

. Пусть K – область пересечения областей Dи G.
PX,YG=Gfx,ydxdy=012-1-y2-y8π+4 dydx
Но в данном случае, так как распределение равномерное, проще воспользоваться геометрической вероятностью:
PX,YG=SKSD=π8π+48=ππ+4≈0,4399
3) Найдем плотности распределения f1(x)иf2(y)случайных величин Х и У:
1. x∈-1;-22f1x=-∞+∞fx,ydy=01-x28π+4dy=81-x2π+4
2. x∈-22;0f1x=-∞+∞fx,ydy=0228π+4dy=42π+4
3. x∈0;22f1x=-∞+∞fx,ydy=x228π+4dy=822-xπ+4=42-2xπ+4
и f1x=0, при x∉[-1;22]
fy=f2y=-∞+∞fx,ydx=-1-y2y8π+4dx=8π+4(1-y2+y), при y∈[0;22]
и f2y=0, при y∉[0;22]
Таким образом, плотности распределения случайных величин Х и У имеют вид:
f1x=81-x2π+4, &x∈-1;-2242π+4, &x∈-22;042-2xπ+4,&x∈0;220, &x∉[-1;22]
f2y=8π+4(1-y2+y), &y∈[0;22]0, &y∉[-1;22]
Так как fx,y≠f1x*f2y,x,y∈D, то случайные величины Xи Yзависимы
Найдем условные плотности (х у) и (у х):
φx|y=fx, yfy=8π+48π+4(1-y2+y)=11-y2+y
φy|x=fx, yfx=8π+48π+4(1-x2+2-x))=11-x2+2-x
4) Найдем математические ожидания М(Х), М(У):
MX=-∞+∞-∞+∞xfx,ydxdy=-1-22xdx 01-x28π+4dy+-220xdx 0228π+4dy+022xdx x228π+4dy=-223π+4-2π+4-223π+4+2π+4=-423π+4=-0,264
MY=-∞+∞-∞+∞yfx,ydxdy=022ydy-1-y2y8π+4dx=83π+4=0,3734
Таким образом, центром рассеивания является точка (-0,264; 0,3734)
MXY=-∞+∞-∞+∞xyfx,ydxdy=022-1-y2y8π+4xydxdy=4π+4022x2-1-y2yydy=
=4π+4022y2-1-y2ydy=4π+40222y3-ydy=2π+4y4-y2022=
=2π+414-12=-12π+4
Ответ был правильный, решение нет.
5) Найдем дисперсии D(X), D(Y);
MX2=-∞+∞x2fxdx=-1-22x2∙81-x2π+4dx +-220x242π+4dx +022x242-2xπ+4dx
=π44+π+234+π+164+π=3π+10124+π≈0.227
DX=MX2-MX2=3π+10124+π--423π+42=0,227--0,2642≈0.157
MY2=-∞+∞y2fydy=022y2∙8π+41-y2+ydy =
=8π+4022y2∙1-y2dy +022y3dy =8π+4π32+116=π+244+π≈0.180
DY=MY2-MY2=π+244+π-83π+42=0,180-0.3732≈0.041
6) Найдем корреляционный момент Сху и коэффициент корреляции rxy.
Cxy=-∞+∞-∞+∞(x-MX)(y-MY)dxdy=MXY-MXMY
Cxy=MXY-MXMY=-12π+4--423π+4∙83π+4≈-0.07+0.264∙0.373≈0,028
rxy=CxyDX*DY=0,0280.157*0.041=0.349
Проверка вычислений