Система автоматического регулирования (рис. 1) состоит из объекта управления 1, исполнительного устройства 2, усилителя. 3

Система автоматического регулирования (рис. 1) состоит из объекта управления 1, исполнительного устройства 2, усилителя 3, датчика 4 и элемента сравнения 5. Подобную структуру может иметь, например, система управления электроприводом, где 1 – электродвигатель, 2 – силовой преобразователь, 3 – усилитель с цепями коррекции, 4 – тахогенератор. Рис. 1 Структурная схема системы автоматического регулирования Уравнения элементов системы (p = d/dt): Требуется: определить передаточные функции элементов САР и указать, каким типовым динамическим звеном является каждый из элементов; найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР; построить амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы; пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определить устойчивость системы в замкнутом состоянии; если система устойчива, то рассчитать запас устойчивости по фазе и по амплитуде; построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (асимптотическую амплитудно-частотную и фазо-частотную); определить критическое значение коэффициента усиления разомкнутой системы; составить характеристическое уравнение замкнутой системы; воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица определить устойчивость замкнутой САР и критическое значение коэффициента усиления системы в разомкнутом состоянии; результаты сравнить с полученными в п. 2, 3.

Часть 1
Зная операторные уравнения, запишем передаточные функции (ПФ) каждого звена:
Звено W1(p) является консервативным звеном; звено W2(p) является апериодическими звеньями 1 порядка; звено W3(p) является идеальным интегрирующим звеном; звено W4(p) является пропорциональным звеном.
Эквивалентная ПФ разомкнутой системы может быть найдена как произведение ПФ всех звеньев, включенных в контур:
Эквивалентная ПФ замкнутой системы:
Часть 2
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ разомкнутой системы:
Знаменатель разомкнутой системы представлен в виде последовательного соединения полинома 1 порядка со всеми положительными коэффициентами, множителя 2 порядка, в котором отсутствует центральный коэффициент и множителя р, следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости.
Тогда, по критерию Найквиста, замкнутая система будет устойчива, если годограф АФЧХ разомкнутой системы не будет охватывать точку (-1; j0).
Для расчёта АФЧХ перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа р=i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно

. Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Тогда годограф АФЧХ разомкнутой системы:
Запасы устойчивости отсутствуют
Часть 3
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ разомкнутой системы:
По логарифмическому критерию, замкнутая система будет устойчива, если на частоте среза ЛАЧХ разомкнутой системы (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс) значение ЛФЧХ разомкнутой системы будет составлять: φ(ω) > -180º.
Запишем уравнения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:
Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ на одном графике:
На частоте среза ЛАЧХ значение ЛФЧХ составляет < -180º, следовательно, замкнутая система неустойчива.
Обратим внимание, что на определенной частоте ЛФЧХ снижается на 180 градусов.
На основании этого, определяем, что замкнутая система буед неустойчива при любых k.
Часть 4
В ходе выполнения задания 1 мы определили ПФ замкнутой системы:
Оцениваем устойчивость замкнутой системы алгебраическим критерием Гурвица