Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершить некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром

Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершить некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиента описывается законом Пуассона. Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы? Система банка «Автодор» является одноканальной СМО с ожиданием, в которой время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час. Определите следующие характеристики системы: вероятность того, что в системе нет требований; среднее число требований в очереди; среднее число требований в системе; среднее время ожидания; среднее время, которое клиент проводит в системе; вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов; б) 3 клиента; в) более 3 клиентов; вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания.

В этой задаче возникает одноканальная СМО с ожиданием. Запишем условие задачи:
n=1; λ=24 клч; μ=36 клчас; ρ=λμ=23.
Для одноканальной системы введем ещё один показатель Pm>k – вероятность более чем k заявок в системе (m – число заявок в системе):
Pm>k=λμk+1
В данном случае вероятность того, что в системе окажется более трех заявок:
Pm>3=24363+1=234≈0,198
Таким образом, вероятность возникновения перегрузки составляется 19,8%.
Вероятность того, что в системе нет требований, определяется по формуле:
P0=1k=0nρkk!+ρn+1n!(n-ρ)
В случае с одноканальной СМО можем применить:
P0=1-ρ=1-23=13≈0,333
Среднее число требований, находящихся в очереди на обслуживание (средняя длина очереди), λоч:
λоч=ρ21–ρ=2321-23=43≈1,333
Среднее число требований, находящихся в системе, λсмо:
λсмо=λμ-λ=2436-24=2
Среднее время ожидания заявки в очереди, tоч:
tоч=ρμ(1-ρ)=2336∙1-23=118≈0,056
Среднее время пребывания клиента в системе, tсмо:
tсмо=1μ-λ=136-24=112≈0,083
Вероятность того, что в системе находятся:
а) 0 клиентов:
P0≈0,333
б) 3 клиента:
P3=ρ3∙P0=233∙0,333≈0,099
в) более 3 клиентов:
Pm>3=24363+1=234≈0,198
Вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания, т.е