Стальной стержень переменного сечения находится под действием продольной силы Р и собственного веса. Найти. 2

Стальной стержень переменного сечения находится под действием продольной силы Р и собственного веса. Найти наибольшее напряжение в сечении круглого бруса и определить величину перемещения сечения I—I. Дано: Рис.1.I, F = 8·10-4 м2, а = 13 м, b = 4 м, c = 3 м, Р = 80 кН, E=2·105 МН/м2, ρ =7,7Мг/м3 Рис.1.I

Поскольку верхнее сечение бруса жестко закреплено, то перемещение сечения I-I
будет равно абсолютному удлинению ступеней «а» и «b».
Это удлинение будет складываться из трех составляющих:
1. Удлинения ступени «а» от силы Р - ΔlP.
2. Удлинения ступени «а + b» от веса нижележащей части бруса, т.е . от веса ступеней «c» - Δl1.
3. Удлинения ступени «а + b» от собственного веса, т.е. от веса части бруса, расположенной выше сечения - Δl2.
Таким образом: ΔlI-I = ΔlP + Δl1 + Δl2.
По закону Гука: ΔlP = Р·а/Е·F = 80·103·13/(2·1011·8·10-4) = 6,5·10-3м = 6,5мм
Δl1 = Gc·a/E·F + Gc·b/E·2F = Gc·(a +b/2)/E·F, здесь Gc = γ·с·F - вес ступени «с», а
γ = ρ·g = 7700·9,81 = 75540 H/м3 = 75,54 кH/м3 - удельный вес материала бруса.
Gc = 75540·3·8·10-4 = 180 Н = 0,18 кН.
Δl1 = 180·(13 + 4/2)/ (2·1011·8·10-4) = 0,000017 м ≈ 0,02 мм.
Удлинение бруса постоянного сечения длиной l от собственного веса, как известно из теоретического курса, определяется по формуле: Δl = γ·l2/2E, тогда:
Δl2 = γ·а2/2E + γ·b2/2E = γ·(а2 + b2)/2E = 75540·(132 + 42)/2·1011 = 0,00007м ≈ 0,07 мм.
Окончательно находим: ΔlI-I = 6,5 + 0,02 + 0,07 = 6,59 мм.
Ответ: ΔlI-I = 6,59 мм.

. от веса ступеней «c» - Δl1.
3. Удлинения ступени «а + b» от собственного веса, т.е. от веса части бруса, расположенной выше сечения - Δl2.
Таким образом: ΔlI-I = ΔlP + Δl1 + Δl2.
По закону Гука: ΔlP = Р·а/Е·F = 80·103·13/(2·1011·8·10-4) = 6,5·10-3м = 6,5мм
Δl1 = Gc·a/E·F + Gc·b/E·2F = Gc·(a +b/2)/E·F, здесь Gc = γ·с·F - вес ступени «с», а
γ = ρ·g = 7700·9,81 = 75540 H/м3 = 75,54 кH/м3 - удельный вес материала бруса.
Gc = 75540·3·8·10-4 = 180 Н = 0,18 кН.
Δl1 = 180·(13 + 4/2)/ (2·1011·8·10-4) = 0,000017 м ≈ 0,02 мм.
Удлинение бруса постоянного сечения длиной l от собственного веса, как известно из теоретического курса, определяется по формуле: Δl = γ·l2/2E, тогда:
Δl2 = γ·а2/2E + γ·b2/2E = γ·(а2 + b2)/2E = 75540·(132 + 42)/2·1011 = 0,00007м ≈ 0,07 мм.
Окончательно находим: ΔlI-I = 6,5 + 0,02 + 0,07 = 6,59 мм.
Ответ: ΔlI-I = 6,59 мм.