Стальной ступенчатый брус закреплен одним концом и нагружен силами Р1, Р2, Р3, как показано

Стальной ступенчатый брус закреплен одним концом и нагружен силами Р1, Р2, Р3, как показано на рисунке 1.1.5. Площадь поперечных сечений бруса – А, 2А, 3А. Сила веса единицы объема – γ = 78 кН/м3. С учетом действия собственного веса требуется: 1) определить продольные силы N, нормальные напряжения σ; 2) определить полное перемещение свободного конца бруса ∆l; 3) построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и перемещений сечений бруса, приняв модуль Юнга Е = 2∙105 МПа. № п/п Длины участков, м А, мм2 Р1, кН Р2, кН Р3, кН а b с 3 6 11 7 3,0∙102 64 20 140 Рисунок 1.1.5

Определение внутренних усилий.·
Освобождаем брус от жесткой заделки, заменяя ее действие реакцией R.
Составляем условие равновесия (с учетом веса бруса).
ΣFiz = 0, R+ P3 - P1 - P2 - γ·a·A - γ·(b + c)·2A = 0, отсюда находим:
R =- P3 +P1 +P2 +γ·a·A +γ·(b +c)·2A = -140 +64 +20 +78·6·3·10-4 +78·(11+7)·2·3·10-4=
= - 55,02 кН.
Разбиваем брус на три характерных силовых участка: I, II и III и на каждом проводим сечения 1-1, 2-2 и 3-3 соответственно и последовательно рассматриваем равновесие нижней отсеченной части бруса.
Участок I (ВС): 0 ≤ z1 ≤ a = 6 м.
N1 - P1 - γ·A·z1 = 0, ⇒ N1 = P1 + γ·A·z1 - уравнение наклонной прямой.
N1(0) = NВ = 64 + γ·A·0 = 64 кН.
N1(6,0) = NнижнС = 64 + 78·3·10-4·6 = 64,14 кН.
Участок II (СE): 0 ≤ z2 ≤ c = 7 м.
N2 - P1 + P3 - γ·A·а - γ·2A·z2 = 0, ⇒ N2 = P1 - P3 + γ·A·а + γ·2A·z2 - уравнение наклонной прямой.
N2(0) = NверхС = 64 - 140 + 78·3·10-4·6 + γ·2A·0 = -75,86 кН.
N2(7,0) = NнижнЕ = 64 - 140 + 78·3·10-4·6 + 78·2·3·10-4·7 = -75,53 кН.
Участок III (EK): 0 ≤ z3 ≤ b = 11 м.
N3 - P1 + P3 - P2- γ·A·а - γ·2A·c - γ·2A·z3= 0, тогда
N3 = P1 - P3 + P2 + γ·A·а + γ·2A·c +γ·2A·z3 - уравнение наклонной прямой.
N3(0) = NверхЕ = 64 - 140 + 20 + 78·3·10-4·6 + 78·2·3·10-4·7 + 78·2·3·10-4·0 = - 55,53 кН.
N3(11,0) = NК = 64 - 140 + 20 + 78·3·10-4·6 + 78·2·3·10-4·7 + 78·2·3·10-4·11 =
= - 55,02 кН

. По полученным результатам строим эпюру продольных сил N.
2. Определение нормальных напряжений.
В пределах каждого участка сечение бруса не меняется, постоянно, поэтому нормальные напряжения изменяются по линейному закону (по уравнению наклонной прямой) также как и продольные силы. С учетом этого находим значения напряжений только в характерных сечениях.
σВ = NВ/А = 64·103/3·102 = 213,33 Н/мм2 = 213,33 МПа