Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15: -1,101 -1,337 -0,765 -1,602 -0,848 -0,513 -0,814 -0,723

Даны 15 выборочных значений Х1, Х2, …Х15: -1,101 -1,337 -0,765 -1,602 -0,848 -0,513 -0,814 -0,723 -1,642 -0,779 -0,925 -1,278 -1,395 -1,085 -0,620 случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с неизвестными параметрами а и 2. Требуется: вычислить точечные оценки а* и (2)* параметров а и 2, принимая а*= , (2)*= (а*(Х))2; записать функцию плотности и найти Р(Х2); построить доверительные интервалы для параметров а и с надежностью 0,99; используя 2 – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.

Вычислим точечные оценки а* и (2)*:
а*=x=1ni=1nxi=115-0,513-0,62-0,723-0,765-0,779-0,814-0,848-0,925-1,085-1,101-1,278-1,337-1,395-1,602-1,642=-1,0285
(σ2)*=1n-1i=1nxi-x2=1,752414=0,1252
Так как размер выборки не большой, используем 1n-1 вместо 1n (поправка Бесселя)
σ*=0,3538
i=1nxi-x2=-0,513-1,02852+-0,62-1,02852+-0,723-1,02852+-0,765-1,02852+-0,779-1,02852+-0,814-1,02852+-0,848-1,02852+-0,925-1,02852+-1,085-1,02852+-1,101-1,02852+-1,278-1,02852+-1,337-1,02852+-1,395-1,02852+-1,602-1,02852+-1,642-1,02852=1,7524
Запишем функцию плотности. Случайная величина Х имеет нормальное распределение, значит, плотность ее вероятности имеет вид:
fx=1σ2πe-x-a22σ2
fx=10,35382πe-x+1,028522*0,35382=10,35382πe-x+1,028520,2503=1,1276*e-x+1,028520,2503
Найдем Р(Х2):
Fx=Pα<X<β=Фβ-aσ-Фα-aσ
Fx=Px<X<+∞=Ф+∞+1,02850,3538-Ф2+1,02850,3538≈Ф+∞-Ф8,5599≈0,5-0,4999≈0,0001
Значения функции Лапласа табулированы, возьмем из табл. П.1.3
Построим доверительные интервалы для параметра а с надежностью 0,99:
Найдем такое число ε, чтобы выполнялось соотношение
Px-ε<a<x+ε=γ
ε=tγ*σ*n
tγ найдем по таблице значений t-распределения или распределения Стьюдента (табл. П.1.6)
ε=2,9768*0,353815=0,2719
-1,0285-0,2719<a<-1,0285+0,2719
-1,3004<a<-0,7565
Данный интервал с вероятностью γ=0,99 накрывает истинное значение a случайной величины X.
Построим доверительные интервалы для параметра с надежностью 0,99:
Pσ*(1-q)<σ<σ*(1+q=γ
Значение q возьмем из таблицы П.1.8
q0,99, 15=0,73
0,3538(1-0,73)<σ<0,3538(1+0,73
0,0955<σ<0,6121
Данный интервал с вероятностью γ=0,99 накрывает истинное значение σ случайной величины X/
(n-1)Sχα1,k<σ<(n-1)Sχα2,k
α1=1-γ2=1-0,992=0,005
α1=1+γ2=1+0,992=0,995
k=n-1=14
χ2α1,k=31,3194
χ2α2,k=4,0747
(n-1)σ*χ2α1,k<σ<(n-1)σ*χ2α2,k
14*0,353831,3194<σ<14*0,35384,0747
0,2365<σ<0,6558
используя 2 – критерий и критерий согласия Колмагорова-Смирнова с уровнем значимости ε = 0,1, оценить согласованность эмпирического и теоретического законов распределения, разбив интервал (-1; +1) на 5 равных частей.
Интервал (-1,0285-1;-1,0285+1)
(-2,0285; -0,0285) разобьем на 5 равных частей
=-0,0285-(-2,0285)=2
2/5=0,4
-2,0285:-1,6285 -1,6285:-1,2285 -1,2285:-0,8285 -0,8285:-0,4285 -0,4285:0,0285
1 4 4 6 0
Объединим два последних столбца.
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, xцентр
Кол-во, fi
xi·fi
(x-xср)2·fi Относительная частота, fi/f
-2.0285 ÷-1.6285 -1.8285 1 -1.829 0.774 0.0667
-1.6285 ÷-1.2285 -1.4285 4 -5.714 0.922 0.267
-1.2285 ÷ -0.8285 -1.0285 4 -4.114 0.0256 0.267
-0.8285 ÷ -0.0285 -0.4285 6 -2.571 1.622 0.4
Итого 15 -14.228 3.344 1
Средняя взвешенная (выборочная средняя)
x = xi∙fifi = -14.227515 = -0.9485
Дисперсия
𝐷 =(xi - x)2 fifi=3.34415= 0.223
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
S2 = (xi - x)2 fifi-1=3.34414= 0.239
Среднее квадратическое отклонение.
σ=D=0.223=0.472
Оценка среднеквадратического отклонения.
s=S2 =0.239=0.489
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
K = (fi - f pi)2f pi
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа
Ф(xi+1-xs) - Ф(xi - xs)
где
s = 0.472, xср = -0.9485
Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 15
Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
xi÷xi+1 fi
x1 = (xi - xср)/s x2 = (xi+1 - xср)/s Ф(x1) Ф(x2) pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 15pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
-2.0285 ÷ -1.6285 1 -2.2098 -1.3914 -0.4868 -0.4192 0.0676 1.014 0.000193
-1.6285 ÷ -1.2285 4 -1.3914 -0.5729 -0.4192 -0.219 0.2002 3.003 0.331
-1.2285 ÷ -0.8285 4 -0.5729 0.2455 -0.219 0.0987 0.3177 4.7655 0.123
-0.8285 ÷ -0.0285 6 0.2455 1.8824 0.0987 0.4706 0.3719 5.5785 0.03185
15 0.486
Определим границу критической области